Упр.38.10 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Представьте многочлен $$p(x)$$ в виде произведения многочлена и одночлена и найдите, при каких значениях переменной выполняется равенство $$p(x)=0$$, если:
а) $$p(x)=5x^2+10x$$;
б) $$p(x)=x^2-6x^3$$;
в) $$p(x)=\frac{3}{4}x^4-\frac{1}{4}x^3$$;
г) $$p(x)=7x^2-21x$$;
д) $$p(x)=4x^4-x^3$$;
е) $$p(x)=-\frac{2}{3}x^6+\frac{5}{6}x^5$$. - Докажите, что тождественно равно нулю выражение:
а) $$(b+c-2a)(c-b)+(c+a-2b)(a-c)-(a+b-2c)(a-b)$$;
б) $$((a+b-c)(2a-b)-b^2)+((a+c-b)(2c-a)-a^2)+((b+c-a)(2b-c)-c^2)$$.
Представим каждый многочлен в виде произведения одночлена и многочлена:
$$p(x)=5x^2+10x=5x(x+2)$$
$$p(x)=x^2-6x^3=x^2(1-6x)$$
$$p(x)=\frac34x^4-\frac14x^3=\frac14x^3(3x-1)$$
$$p(x)=7x^2-21x=7x(x-3)$$
$$p(x)=4x^4-x^3=x^3(4x-1)$$
$$p(x)=-\frac23x^6+\frac56x^5=-\frac16x^5(4x-5)$$Теперь найдём, при каких значениях $$x$$ выполняется равенство $$p(x)=0$$.
$$5x(x+2)=0$$
$$5x=0 \text{ или } x+2=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-2$$$$x^2(1-6x)=0$$
$$x^2=0 \text{ или } 1-6x=0$$
$$x=0 \text{ или } x=\frac16$$$$\frac14x^3(3x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } 3x-1=0$$
$$x=0 \text{ или } x=\frac13$$$$7x(x-3)=0$$
$$x=0 \text{ или } x-3=0$$
$$x=0 \text{ или } x=3$$$$x^3(4x-1)=0$$
$$x=0 \text{ или } 4x-1=0$$
$$x=0 \text{ или } x=\frac14$$$$-\frac16x^5(4x-5)=0$$
$$x=0 \text{ или } 4x-5=0$$
$$x=0 \text{ или } x=\frac54$$Докажем, что выражение тождественно равно нулю.
$$(b+c-2a)(c-b)+(c+a-2b)(a-c)-(a+b-2c)(a-b)$$
$$=(bc-b^2+c^2-bc-2ac+2ab)+(ac-c^2+a^2-ac-2ab+2bc)$$
$$\quad-(a^2-ab+ab-b^2-2ac+2bc)$$
$$=(c^2-b^2-2ac+2ab)+(a^2-c^2-2ab+2bc)-(a^2-b^2-2ac+2bc)=0.$$$$\bigl((a+b-c)(2a-b)-b^2\bigr)+\bigl((a+c-b)(2c-a)-a^2\bigr)+\bigl((b+c-a)(2b-c)-c^2\bigr)$$
$$=(2a^2-ab+2ab-b^2-2ac+bc-b^2)$$
$$\quad+(2ac-a^2+2c^2-ac-2bc+ab-a^2)$$
$$\quad+(2b^2-bc+2bc-c^2-2ab+ac-c^2)$$
$$=(2a^2-2a^2)+(2b^2-2b^2)+(2c^2-2c^2)$$
$$\quad+(-ab+2ab-ab)+(-2ac+ac+ac)+(-bc+2bc-bc)=0.$$
Ответ
а) $$x=0,\,-2$$; б) $$x=0,\,\frac16$$; в) $$x=0,\,\frac13$$; г) $$x=0,\,3$$; д) $$x=0,\,\frac14$$; е) $$x=0,\,\frac54$$; оба выражения тождественно равны нулю.
