Упр.37.18 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования.
а) Два ученика задумали по двузначному числу, сумма которых равна $$100$$. Первый увеличил своё число в $$2$$ раза и прибавил к нему $$5$$, а второй увеличил своё число в $$3$$ раза и вычел из него $$20$$. Интересно, что у ребят получились одинаковые результаты. Какие числа они задумали?
б) Сумма цифр двузначного числа равна $$11$$. Если эти цифры поменять местами, то получится число, которое на $$45$$ больше исходного. Найдите эти числа.
а) Пусть первый ученик задумал число $$x$$, а второй — $$y$$. Тогда по условию
$$x+y=100,$$
а после преобразований они получили одинаковые результаты:
$$2x+5=3y-20.$$
Составим и решим систему:
$$\begin{cases} x+y=100,\\ 2x-3y=-25. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$\begin{cases} 3x+3y=300,\\ 2x-3y=-25. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$5x=275,$$
$$x=55.$$
Тогда
$$y=100-55=45.$$
Значит, числа: $$55$$ и $$45$$.
б) Пусть цифры двузначного числа — $$a$$ и $$b$$. Тогда
$$a+b=11.$$
Исходное число равно $$10a+b$$, а число, записанное с переставленными цифрами, — $$10b+a$$. По условию:
$$10b+a=10a+b+45.$$
Получаем систему:
$$\begin{cases} a+b=11,\\ 9b-9a=45. \end{cases}$$
Разделим второе уравнение на $$9$$:
$$b-a=5.$$
Сложим уравнения системы:
$$(a+b)+(b-a)=11+5,$$
$$2b=16,$$
$$b=8.$$
Тогда
$$a=11-8=3.$$
Искомое число: $$38$$. После перестановки цифр получаем $$83$$.
Ответ
а) $$55$$ и $$45$$; б) $$38$$ и $$83$$.
