Упр.36.8 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) (2а + 3)^2 + (3а — 4)^2 — 2(2а + 3)(3а — 4);
б) х(х + 3)(x — 3) — (х — 2)(х^2 + 2х + 4);
в) (а^2 — 5)^2 + (а^2 + 5)^2 + 2(а^2 + 5)(а^2 — 5);
г) х(2х — 1)^2 — 4(х + 1)(х^2 — х + 1). Разложите на множители данное выражение:
а) 4a^4 + 81b^4; г) 81x^4 + 64y^4;
б) 3x^4 + 12b^4; д) 20a^4 + 5b^4;
в) 8a^4 b + 2b^5; е) 128a^6 b + 2a^2 b^5.

1. Преобразуем выражения в многочлен стандартного вида:

   а)
   $$\begin{aligned} (2a+3)^2+(3a-4)^2-2(2a+3)(3a-4) &=4a^2+12a+9+9a^2-24a+16-2(6a^2-8a+9a-12)\\ &=13a^2-12a+25-12a^2-2a+24\\ &=a^2-14a+49\\ &=(a-7)^2; \end{aligned}$$

   б)
   $$\begin{aligned} x(x+3)(x-3)-(x-2)(x^2+2x+4) &=x(x^2-9)-(x^3-8)\\ &=x^3-9x-x^3+8\\ &=-9x+8; \end{aligned}$$

   в)
   $$\begin{aligned} (a^2-5)^2+(a^2+5)^2+2(a^2+5)(a^2-5) &=a^4-10a^2+25+a^4+10a^2+25+2(a^4-25)\\ &=2a^4+50+2a^4-50\\ &=4a^4; \end{aligned}$$

   г)
   $$\begin{aligned} x(2x-1)^2-4(x+1)(x^2-x+1) &=x(4x^2-4x+1)-4(x^3+1)\\ &=4x^3-4x^2+x-4x^3-4\\ &=-4x^2+x-4. \end{aligned}$$

2. Разложим на множители данные выражения:

   а)
   $$\begin{aligned} 4a^4+81b^4 &=(4a^4+36a^2b^2+81b^4)-36a^2b^2\\ &=(2a^2+9b^2)^2-(6ab)^2\\ &=(2a^2+9b^2-6ab)(2a^2+9b^2+6ab); \end{aligned}$$

   б)
   $$\begin{aligned} 3x^4+12b^4 &=3(x^4+4b^4)\\ &=3(x^4+4x^2b^2+4b^4-4x^2b^2)\\ &=3\bigl((x^2+2b^2)^2-(2xb)^2\bigr)\\ &=3(x^2+2b^2-2xb)(x^2+2b^2+2xb); \end{aligned}$$

   в)
   $$\begin{aligned} 8a^4b+2b^5 &=2b(4a^4+b^4)\\ &=2b(4a^4+4a^2b^2+b^4-4a^2b^2)\\ &=2b\bigl((2a^2+b^2)^2-(2ab)^2\bigr)\\ &=2b(2a^2+b^2-2ab)(2a^2+b^2+2ab); \end{aligned}$$

   г)
   $$\begin{aligned} 81x^4+64y^4 &=(81x^4+144x^2y^2+64y^4)-144x^2y^2\\ &= (9x^2+8y^2)^2-(12xy)^2\\ &=(9x^2+8y^2-12xy)(9x^2+8y^2+12xy); \end{aligned}$$

   д)
   $$\begin{aligned} 20a^4+5b^4 &=5(4a^4+b^4)\\ &=5(4a^4+4a^2b^2+b^4-4a^2b^2)\\ &=5\bigl((2a^2+b^2)^2-(2ab)^2\bigr)\\ &=5(2a^2+b^2-2ab)(2a^2+b^2+2ab); \end{aligned}$$

   е)
   $$\begin{aligned} 128a^6b+2a^2b^5 &=2a^2b(64a^4+b^4)\\ &=2a^2b(64a^4+16a^2b^2+b^4-16a^2b^2)\\ &=2a^2b\bigl((8a^2+b^2)^2-(4ab)^2\bigr)\\ &=2a^2b(8a^2+b^2-4ab)(8a^2+b^2+4ab). \end{aligned}$$

Ответ

1) а) $$(a-7)^2$$; б) $$-9x+8$$; в) $$4a^4$$; г) $$-4x^2+x-4$$.
2) а) $$(2a^2+9b^2-6ab)(2a^2+9b^2+6ab)$$; б) $$3(x^2+2b^2-2xb)(x^2+2b^2+2xb)$$; в) $$2b(2a^2+b^2-2ab)(2a^2+b^2+2ab)$$; г) $$(9x^2+8y^2-12xy)(9x^2+8y^2+12xy)$$; д) $$5(2a^2+b^2-2ab)(2a^2+b^2+2ab)$$; е) $$2a^2b(8a^2+b^2-4ab)(8a^2+b^2+4ab)$$.