Упр.36.4 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение, используя, если возможно, формулу суммы или разности кубов:
   а) $$(x-3)(x^2+3x+9)$$;
   б) $$(4+a)(16-4a+a^2)$$;
   в) $$(1+y)(1+y+y^2)$$;
   г) $$(x-10)(x^2+10x+100)$$.
2. Разложите на множители данное выражение:
   а) $$a^3+6a^2+a+6$$;
   г) $$p^3+7p^2+3p+21$$;
   б) $$x^3-2x^2+2x-4$$;
   д) $$b^3-3b^2+b-3$$;
   в) $$28-2a-14a^2+a^3$$;
   е) $$3y^3-6y^2-2y+4$$.

Используем формулы:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2), \qquad a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

1. $$(x-3)(x^2+3x+9)=x^3-3^3=x^3-27$$

2. $$(4+a)(16-4a+a^2)=4^3+a^3=64+a^3$$

3. $$(1+y)(1+y+y^2)$$

   Это не формула суммы или разности кубов, так как при раскрытии скобок получается

   $$(1+y)(1+y+y^2)=1+2y+2y^2+y^3$$

4. $$(x-10)(x^2+10x+100)=x^3-10^3=x^3-1000$$

Разложим на множители:

1. $$a^3+6a^2+a+6=(a^3+6a^2)+(a+6)=a^2(a+6)+1(a+6)=(a+6)(a^2+1)$$

2. $$x^3-2x^2+2x-4=(x^3-2x^2)+(2x-4)=x^2(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x^2+2)$$

3. $$28-2a-14a^2+a^3=(a^3-14a^2)+(-2a+28)=a^2(a-14)-2(a-14)=(a-14)(a^2-2)$$

4. $$p^3+7p^2+3p+21=(p^3+7p^2)+(3p+21)=p^2(p+7)+3(p+7)=(p+7)(p^2+3)$$

5. $$b^3-3b^2+b-3=(b^3-3b^2)+(b-3)=b^2(b-3)+(b-3)=(b-3)(b^2+1)$$

6. $$3y^3-6y^2-2y+4=(3y^3-6y^2)+(-2y+4)=3y^2(y-2)-2(y-2)=(y-2)(3y^2-2)$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } x^3-27; \\ &\text{б) } a^3+64; \\ &\text{в) } 1+2y+2y^2+y^3; \\ &\text{г) } x^3-1000; \\ &\text{а) } (a+6)(a^2+1); \\ &\text{б) } (x-2)(x^2+2); \\ &\text{в) } (a-14)(a^2-2); \\ &\text{г) } (p+7)(p^2+3); \\ &\text{д) } (b-3)(b^2+1); \\ &\text{е) } (y-2)(3y^2-2). \end{aligned}$$