Упр.36.11 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Замените символ $$\ast$$ одночленами так, чтобы получилось верное равенство:
а) $$(x+2)(x^2-\ast+\ast)=x^3+\ast$$;
б) $$(3x-\ast)(\ast+15x+25)=27x^3-\ast$$;
в) $$(y-\ast)(y^2+4y+\ast)=y^3-\ast$$;
г) $$(\ast+2y)(\ast-2xy+\ast)=x^3+8y^3$$.
Найдите значение многочлена $$4a^2-9b^2+20a+25$$, если:
а) $$a=-\frac{1}{2}$$; $$b=\frac{1}{3}$$;
г) $$a=1\frac{1}{2}$$; $$b=-\frac{2}{3}$$;
б) $$a=1{,}5$$; $$b=3{,}2$$;
д) $$a=-3{,}5$$; $$b=-1{,}5$$;
в) $$a=2$$; $$b=-3$$;
е) $$a=-3$$; $$b=-2$$.

Подробный ответ

Подбираем одночлены так, чтобы получились формулы сокращённого умножения:
а) $$(x+2)(x^2-2x+4)=x^3+8;$$
б) $$(3x-5)(9x^2+15x+25)=27x^3-125;$$
в) $$(y-4)(y^2+4y+16)=y^3-64;$$
г) $$(x+2y)(x^2-2xy+4y^2)=x^3+8y^3.$$
Преобразуем многочлен:
$$4a^2-9b^2+20a+25=4a^2+20a+25-9b^2=(2a+5)^2-(3b)^2=(2a+5-3b)(2a+5+3b).$$
Подставим значения:
а) $$a=-\frac12,\ b=\frac13$$
$$\left(2\cdot\left(-\frac12\right)+5-3\cdot\frac13\right)\left(2\cdot\left(-\frac12\right)+5+3\cdot\frac13\right)=(-1+5-1)(-1+5+1)=3\cdot5=15.$$
б) $$a=1{,}5,\ b=3{,}2$$
$$\left(2\cdot1{,}5+5-3\cdot3{,}2\right)\left(2\cdot1{,}5+5+3\cdot3{,}2\right)=(3+5-9{,}6)(3+5+9{,}6)=-1{,}6\cdot17{,}6=-28{,}16.$$
в) $$a=2,\ b=-3$$
$$\left(2\cdot2+5-3\cdot(-3)\right)\left(2\cdot2+5+3\cdot(-3)\right)=(4+5+9)(4+5-9)=18\cdot0=0.$$
г) $$a=1\frac12,\ b=-\frac23$$
$$\left(2\cdot1\frac12+5-3\cdot\left(-\frac23\right)\right)\left(2\cdot1\frac12+5+3\cdot\left(-\frac23\right)\right)=(3+5+2)(3+5-2)=10\cdot6=60.$$
д) $$a=-3{,}5,\ b=-1{,}5$$
$$\left(2\cdot(-3{,}5)+5-3\cdot(-1{,}5)\right)\left(2\cdot(-3{,}5)+5+3\cdot(-1{,}5)\right)=(-7+5+4{,}5)(-7+5-4{,}5)=2{,}5\cdot(-6{,}5)=-16{,}25.$$
е) $$a=-3,\ b=-2$$
$$\left(2\cdot(-3)+5-3\cdot(-2)\right)\left(2\cdot(-3)+5+3\cdot(-2)\right)=(-6+5+6)(-6+5-6)=5\cdot(-7)=-35.$$