Упр.36.1 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Укажите выражения, которые представляют собой неполный квадрат двучлена: а) $$x^2+xy+y^2$$; г) $$a^2-2a+4$$; б) $$a^2-ab+b^2$$; д) $$4+y^2$$; в) $$a^2+2ab+b^2$$; е) $$b^2+b+1$$.
Вынесите общий множитель за скобки. Распределите выражения на группы. Объясните, по какому признаку выражения объединены в одну группу: а) $$2x-x^2$$, $$-3ax+2x^2$$, $$2ax^2-3a^2x$$, $$4xy-2x^2y$$; б) $$n^2-nm$$, $$6n^2-9nk$$, $$mn-n^2$$, $$2nk-3k^2$$; в) $$3ab^2-6a^2b$$, $$4ab^2+8ab^2$$, $$\frac{1}{2}a^4b-\frac{1}{4}a^3b^2$$, $$-4a^2b-2ab^2$$; г) $$ab-3b^2$$, $$a^2-3ab$$, $$5+10x$$, $$a+2ax$$; д) $$a^3-2a^2$$, $$4ab-2a^2b$$, $$5ac^2-10ac$$, $$3a-6$$; е) $$3n^2m-n^3m^2$$, $$2n^4m^2-3n^2m^3$$, $$mn^4-3n^5$$, $$2n^3m^2-3n^2m^3$$.

Подробный ответ

Неполный квадрат двучлена имеет вид $$a^2 \pm 2ab + b^2$$ или $$a^2 \pm 2a + c^2$$, то есть в нём есть два квадрата и удвоенное произведение этих величин.

Проверим данные выражения:

$$x^2+xy+y^2$$ — неполный квадрат двучлена;
$$a^2-ab+b^2$$ — неполный квадрат двучлена;
$$a^2+2ab+b^2$$ — полный квадрат суммы, а не неполный;
$$a^2-2a+4$$ — неполный квадрат двучлена;
$$4+y^2$$ — не является неполным квадратом двучлена;
$$b^2+b+1$$ — неполный квадрат двучлена.

Значит, подходят выражения $$x^2+xy+y^2$$, $$a^2-ab+b^2$$, $$a^2-2a+4$$, $$b^2+b+1$$.

При вынесении общего множителя получаем:

$$2x-x^2=x(2-x)$$
$$-3ax+2x^2=x(2x-3a)$$
$$2ax^2-3a^2x=ax(2x-3a)$$
$$4xy-2x^2y=2xy(2-x)$$
В 1 и 4 выражениях второй множитель равен $$2-x$$, а в 2 и 3 — $$2x-3a$$.
$$n^2-nm=n(n-m)$$
$$6n^2-9nk=3n(2n-3k)$$
$$mn-n^2=n(m-n)=-n(n-m)$$
$$2nk-3k^2=k(2n-3k)$$
В 1 и 3 выражениях второй множитель равен $$n-m$$, а во 2 и 4 — $$2n-3k$$.
$$3ab^2-6a^2b=3ab(b-2a)=-3ab(2a-b)$$
$$4ab^2+8ab^2=12ab^2$$
$$\frac12 a^4b-\frac14 a^3b^2=\frac14 a^3b(2a-b)$$
$$-4a^2b-2ab^2=-2ab(2a+b)$$
В 1 и 3 выражениях второй множитель равен $$2a-b$$, а во 2 и 4 — соответственно $$12ab^2$$ и $$2a+b$$.
$$ab-3b^2=b(a-3b)$$
$$a^2-3ab=a(a-3b)$$
$$5+10x=5(1+2x)$$
$$a+2ax=a(1+2x)$$
В 1 и 2 выражениях второй множитель равен $$a-3b$$, а в 3 и 4 — $$1+2x$$.
$$a^3-2a^2=a^2(a-2)$$
$$4ab-2a^2b=2ab(2-a)$$
$$5ac^2-10ac=5ac(c-2)$$
$$3a-6=3(a-2)$$
Во 1, 2 и 4 выражениях второй множитель равен $$a-2$$.
$$3n^2m-n^3m^2=n^2m(3-nm)$$
$$2n^4m^2-3n^2m^3=n^2m^2(2n^2-3m)$$
$$mn^4-3n^5=n^4(m-3n)$$
$$2n^3m^2-3n^2m^3=n^2m^2(2n-3m)$$
Во 1, 2 и 4 выражениях вынесены за скобки две переменные.