Упр.35.9 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Докажите, что значение выражения $$(2x-y)(2x+y)+(3a+2x)(3a-2x)+(y+3a)(y-3a)$$ равно нулю при любых значениях переменных.
- Вычислите наиболее рациональным способом:
а) $$257^2-143^2$$;
б) $$73{,}6^2-26{,}4^2$$;
в) $$\left(7\frac{2}{7}\right)^2-\left(2\frac{5}{7}\right)^2$$;
г) $$165^2-65^2$$;
д) $$72{,}5^2-47{,}5^2$$;
е) $$\left(12\frac{5}{9}\right)^2-\left(2\frac{5}{9}\right)^2$$.
Используем формулу разности квадратов:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$
Тогда
$$(2x-y)(2x+y)+(3a+2x)(3a-2x)+(y+3a)(y-3a)$$
$$= (2x)^2-y^2+(3a)^2-(2x)^2+y^2-(3a)^2=0.$$
Значит, выражение равно нулю при любых значениях переменных.
Вычислим наиболее рациональным способом:
а) $$257^2-143^2=(257-143)(257+143)=114\cdot 400=45600.$$
б) $$73{,}6^2-26{,}4^2=(73{,}6-26{,}4)(73{,}6+26{,}4)=47{,}2\cdot 100=4720.$$
в) $$\left(7\frac{2}{7}\right)^2-\left(2\frac{5}{7}\right)^2=\left(7\frac{2}{7}-2\frac{5}{7}\right)\left(7\frac{2}{7}+2\frac{5}{7}\right).$$
$$7\frac{2}{7}-2\frac{5}{7}=4\frac{4}{7}, \qquad 7\frac{2}{7}+2\frac{5}{7}=10,$$
поэтому
$$4\frac{4}{7}\cdot 10=44\frac{6}{7}.$$
г) $$165^2-65^2=(165-65)(165+65)=100\cdot 230=23000.$$
д) $$72{,}5^2-47{,}5^2=(72{,}5-47{,}5)(72{,}5+47{,}5)=25\cdot 120=3000.$$
е) $$\left(12\frac{5}{9}\right)^2-\left(2\frac{5}{9}\right)^2=\left(12\frac{5}{9}-2\frac{5}{9}\right)\left(12\frac{5}{9}+2\frac{5}{9}\right).$$
$$12\frac{5}{9}-2\frac{5}{9}=10, \qquad 12\frac{5}{9}+2\frac{5}{9}=15\frac{1}{9},$$
значит
$$10\cdot 15\frac{1}{9}=151\frac{1}{9}.$$
Ответ
Выражение равно $$0$$ при любых значениях переменных; а) $$45600$$; б) $$4720$$; в) $$44\frac{6}{7}$$; г) $$23000$$; д) $$3000$$; е) $$151\frac{1}{9}$$.
