Упр.35.15 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. Докажите равенство: $$\left(3^2+2^2\right)\left(3^4+2^4\right)\left(3^8+2^8\right)\left(3^{16}+2^{16}\right)=0{,}2\left(3^{32}-2^{32}\right).$$
2. Разложите на множители:
   а) $$81-(a-2)^2$$;
   б) $$x^2-(2x-1)^2$$;
   в) $$100x^2-(5x+9)^2$$;
   г) $$36-(5+x)^2$$;
   д) $$4b^2-(2-b)^2$$;
   е) $$121b^2-(7b-3)^2$$.

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

1)

$$(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})$$

Домножим и разделим на разность квадратов:

$$(3^2-2^2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})$$

Тогда

$$\frac{3^4-2^4}{3^2-2^2}(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) = \frac{3^8-2^8}{3^2-2^2}(3^{16}+2^{16})$$

Удобнее последовательно раскрывать:

$$(3^2-2^2)(3^2+2^2)=3^4-2^4,$$

$$(3^4-2^4)(3^4+2^4)=3^8-2^8,$$

$$(3^8-2^8)(3^8+2^8)=3^{16}-2^{16},$$

$$(3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})=3^{32}-2^{32}.$$

Значит,

$$(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) =\frac{3^{32}-2^{32}}{3^2-2^2} =\frac{3^{32}-2^{32}}{5}.$$

Так как $$0{,}2=\frac15,$$ получаем

$$\frac{3^{32}-2^{32}}{5}=0{,}2(3^{32}-2^{32}).$$

2) Разложим на множители:

1. $$81-(a-2)^2=9^2-(a-2)^2=(9-(a-2))(9+(a-2))=(11-a)(7+a).$$

2. $$x^2-(2x-1)^2=(x-(2x-1))(x+(2x-1))=(1-x)(3x-1).$$

3. $$100x^2-(5x+9)^2=(10x-(5x+9))(10x+(5x+9))=(5x-9)(15x+9)=3(5x-9)(5x+3).$$

4. $$36-(5+x)^2=6^2-(5+x)^2=(6-(5+x))(6+(5+x))=(1-x)(11+x).$$

5. $$4b^2-(2-b)^2=(2b-(2-b))(2b+(2-b))=(3b-2)(b+2).$$

6. $$121b^2-(7b-3)^2=(11b-(7b-3))(11b+(7b-3))=(4b+3)(18b-3)=3(4b+3)(6b-1).$$

Ответ

$$(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})=0{,}2(3^{32}-2^{32});$$

а) $$81-(a-2)^2=(11-a)(7+a);$$
б) $$x^2-(2x-1)^2=(1-x)(3x-1);$$
в) $$100x^2-(5x+9)^2=3(5x-9)(5x+3);$$
г) $$36-(5+x)^2=(1-x)(11+x);$$
д) $$4b^2-(2-b)^2=(3b-2)(b+2);$$
е) $$121b^2-(7b-3)^2=3(4b+3)(6b-1).$$