Упр.35.15 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^16 + 2^16) = 0,2(3^32 — 2^32).
Разложите на множители:
а) 81 — (a — 2)^2; г) 36 — (5 + x)^2;
б) x^2 — (2x — 1)^2; д) 4b^2 — (2 — b)^2;
в) 100x^2 — (5x + 9)^2; е) 121b^2 — (7b — 3)^2.

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

1)

$$ (3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) $$

Домножим и разделим на разность квадратов:

$$ (3^2-2^2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) $$

Тогда

$$ \frac{3^4-2^4}{3^2-2^2}(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) = \frac{3^8-2^8}{3^2-2^2}(3^{16}+2^{16}) $$

Удобнее последовательно раскрывать:

$$ (3^2-2^2)(3^2+2^2)=3^4-2^4, $$

$$ (3^4-2^4)(3^4+2^4)=3^8-2^8, $$

$$ (3^8-2^8)(3^8+2^8)=3^{16}-2^{16}, $$

$$ (3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})=3^{32}-2^{32}. $$

Значит,

$$ (3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) =\frac{3^{32}-2^{32}}{3^2-2^2} =\frac{3^{32}-2^{32}}{5}. $$

Так как $$0{,}2=\frac15,$$ получаем

$$ \frac{3^{32}-2^{32}}{5}=0{,}2(3^{32}-2^{32}). $$

2) Разложим на множители:

1. $$81-(a-2)^2=9^2-(a-2)^2=(9-(a-2))(9+(a-2))=(11-a)(7+a).$$

2. $$x^2-(2x-1)^2=(x-(2x-1))(x+(2x-1))=(1-x)(3x-1).$$

3. $$100x^2-(5x+9)^2=(10x-(5x+9))(10x+(5x+9))=(5x-9)(15x+9)=3(5x-9)(5x+3).$$

4. $$36-(5+x)^2=6^2-(5+x)^2=(6-(5+x))(6+(5+x))=(1-x)(11+x).$$

5. $$4b^2-(2-b)^2=(2b-(2-b))(2b+(2-b))=(3b-2)(b+2).$$

6. $$121b^2-(7b-3)^2=(11b-(7b-3))(11b+(7b-3))=(4b+3)(18b-3)=3(4b+3)(6b-1).$$

Ответ

$$ (3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})=0{,}2(3^{32}-2^{32}); $$

а) $$81-(a-2)^2=(11-a)(7+a);$$
б) $$x^2-(2x-1)^2=(1-x)(3x-1);$$
в) $$100x^2-(5x+9)^2=3(5x-9)(5x+3);$$
г) $$36-(5+x)^2=(1-x)(11+x);$$
д) $$4b^2-(2-b)^2=(3b-2)(b+2);$$
е) $$121b^2-(7b-3)^2=3(4b+3)(6b-1).$$