Упр.35.14 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. Найдите значение числового выражения:

   а) $$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)-2^{16}$$;

   б) $$(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$.

2. Разложите на множители:

   а) $$(y-1)^2-16$$;

   б) $$(2a+3)^2-4a^2$$;

   в) $$(x+2y)^2-9x^2$$;

   г) $$(3x+2)^2-49$$;

   д) $$(c-4)^2-25c^2$$;

   е) $$(a-5b)^2-b^2$$.

1)

$$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)-2^{16}$$
$$=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)-2^{16}$$
$$=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)-2^{16}$$
$$=(2^8-1)(2^8+1)-2^{16}$$
$$=2^{16}-1-2^{16}=-1.$$

2)

$$(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}$$
$$=\frac{(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}{2^2-1}-2^{32}$$
$$=\frac{(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}{4-1}-2^{32}$$
$$=\frac{(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)}{3}-2^{32}$$
$$=\frac{(2^{16}-1)(2^{16}+1)}{3}-2^{32} =\frac{2^{32}-1}{3}-2^{32}.$$

Здесь удобно заметить, что
$$(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)=\frac{2^{32}-1}{3},$$
поэтому
$$\frac{2^{32}-1}{3}-2^{32}=-1.$$

3) Разложим на множители:

1. $$(y-1)^2-16=(y-1)^2-4^2=((y-1)-4)((y-1)+4)=(y-5)(y+3).$$
2. $$(2a+3)^2-4a^2=(2a+3)^2-(2a)^2=((2a+3)-2a)((2a+3)+2a)=3(4a+3).$$
3. $$(x+2y)^2-9x^2=(x+2y)^2-(3x)^2=((x+2y)-3x)((x+2y)+3x)$$
   $$=(2y-2x)(4x+2y)=2(y-x)\cdot 2(2x+y)=4(y-x)(2x+y).$$
4. $$(3x+2)^2-49=(3x+2)^2-7^2=((3x+2)-7)((3x+2)+7)$$
   $$=(3x-5)(3x+9)=3(3x-5)(x+3).$$
5. $$(c-4)^2-25c^2=(c-4)^2-(5c)^2=((c-4)-5c)((c-4)+5c)$$
   $$=(-4c-4)(6c-4)=-4(c+1)\cdot 2(3c-2)=-8(c+1)(3c-2).$$
6. $$(a-5b)^2-b^2=((a-5b)-b)((a-5b)+b)=(a-6b)(a-4b).$$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$-1$$; 3) $$(y-5)(y+3)$$; 4) $$3(4a+3)$$; 5) $$4(y-x)(2x+y)$$; 6) $$3(3x-5)(x+3)$$; 7) $$-8(c+1)(3c-2)$$; 8) $$(a-6b)(a-4b)$$.