Упр.35.14 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) (2 — 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^16;
б) (2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) — 2^32.
Разложите на множители:
а) (y — 1)^2 — 16; г) (3x + 2)^2 — 49;
б) (2a + 3)^2 — 4a^2; д) (c — 4)^2 — 25c^2;
в) (x + 2y)^2 — 9x^2; е) (a — 5b)^2 — b^2.

1)

$$ (2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)-2^{16} $$
$$ =(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)-2^{16} $$
$$ =(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)-2^{16} $$
$$ =(2^8-1)(2^8+1)-2^{16} $$
$$ =2^{16}-1-2^{16}=-1. $$

2)

$$ (2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32} $$
$$ =\frac{(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}{2^2-1}-2^{32} $$
$$ =\frac{(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}{4-1}-2^{32} $$
$$ =\frac{(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)}{3}-2^{32} $$
$$ =\frac{(2^{16}-1)(2^{16}+1)}{3}-2^{32} =\frac{2^{32}-1}{3}-2^{32}. $$

Здесь удобно заметить, что
$$ (2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)=\frac{2^{32}-1}{3}, $$
поэтому
$$ \frac{2^{32}-1}{3}-2^{32}=-1. $$

3) Разложим на множители:

1. $$ (y-1)^2-16=(y-1)^2-4^2=((y-1)-4)((y-1)+4)=(y-5)(y+3). $$
2. $$ (2a+3)^2-4a^2=(2a+3)^2-(2a)^2=((2a+3)-2a)((2a+3)+2a)=3(4a+3). $$
3. $$ (x+2y)^2-9x^2=(x+2y)^2-(3x)^2=((x+2y)-3x)((x+2y)+3x) $$
   $$ =(2y-2x)(4x+2y)=2(y-x)\cdot 2(2x+y)=4(y-x)(2x+y). $$
4. $$ (3x+2)^2-49=(3x+2)^2-7^2=((3x+2)-7)((3x+2)+7) $$
   $$ =(3x-5)(3x+9)=3(3x-5)(x+3). $$
5. $$ (c-4)^2-25c^2=(c-4)^2-(5c)^2=((c-4)-5c)((c-4)+5c) $$
   $$ =(-4c-4)(6c-4)=-4(c+1)\cdot 2(3c-2)=-8(c+1)(3c-2). $$
6. $$ (a-5b)^2-b^2=((a-5b)-b)((a-5b)+b)=(a-6b)(a-4b). $$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$-1$$; 3) $$ (y-5)(y+3) $$; 4) $$ 3(4a+3) $$; 5) $$ 4(y-x)(2x+y) $$; 6) $$ 3(3x-5)(x+3) $$; 7) $$ -8(c+1)(3c-2) $$; 8) $$ (a-6b)(a-4b) $$.