Упр.33.65 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

1. Докажите равенство: $$\left(3^2+2^2\right)\left(3^4+2^4\right)\left(3^8+2^8\right)\left(3^{16}+2^{16}\right)=0{,}2\left(3^{32}-2^{32}\right).$$

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Тогда

$$(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})$$

умножим и разделим на разность $$3^2-2^2$$:

$$(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) = \frac{(3^2-2^2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})}{3^2-2^2}.$$

По формуле разности квадратов:

$$(3^2-2^2)(3^2+2^2)=3^4-2^4,$$

поэтому

$$\frac{(3^4-2^4)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})}{3^2-2^2}.$$

Снова применяем формулу:

$$(3^4-2^4)(3^4+2^4)=3^8-2^8,$$

тогда

$$\frac{(3^8-2^8)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})}{3^2-2^2}.$$

Далее:

$$(3^8-2^8)(3^8+2^8)=3^{16}-2^{16},$$

значит

$$\frac{(3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})}{3^2-2^2}.$$

И ещё раз:

$$(3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})=3^{32}-2^{32}.$$

Получаем

$$\frac{3^{32}-2^{32}}{3^2-2^2}.$$

Так как

$$3^2-2^2=9-4=5,$$

то

$$\frac{3^{32}-2^{32}}{5}=0{,}2(3^{32}-2^{32}).$$

Следовательно, равенство верно.

Ответ

$$(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})=0{,}2(3^{32}-2^{32}).$$