Упр.33.65 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^16 + 2^16) = 0,2(3^32 — 2^32).

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Тогда

$$ (3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) $$

умножим и разделим на разность $$3^2-2^2$$:

$$ (3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) = \frac{(3^2-2^2)(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})}{3^2-2^2}. $$

По формуле разности квадратов:

$$ (3^2-2^2)(3^2+2^2)=3^4-2^4, $$

поэтому

$$ \frac{(3^4-2^4)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})}{3^2-2^2}. $$

Снова применяем формулу:

$$ (3^4-2^4)(3^4+2^4)=3^8-2^8, $$

тогда

$$ \frac{(3^8-2^8)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})}{3^2-2^2}. $$

Далее:

$$ (3^8-2^8)(3^8+2^8)=3^{16}-2^{16}, $$

значит

$$ \frac{(3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})}{3^2-2^2}. $$

И ещё раз:

$$ (3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})=3^{32}-2^{32}. $$

Получаем

$$ \frac{3^{32}-2^{32}}{3^2-2^2}. $$

Так как

$$ 3^2-2^2=9-4=5, $$

то

$$ \frac{3^{32}-2^{32}}{5}=0{,}2(3^{32}-2^{32}). $$

Следовательно, равенство верно.

Ответ

$$ (3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})=0{,}2(3^{32}-2^{32}). $$