Упр.32.8 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
а) Приведите многочлен $$p(a; b)=a^2+4ab-3b^2-2ab+4b^2$$ к стандартному виду и найдите $$p(1; -1),\ p(-1; 2),\ p(1; 1)$$.
б) Приведите многочлен $$p(a; b)=a^3+b^3-4a^2b+3ab^2+a^2b-2b^3$$ к стандартному виду и найдите $$p(1; 1),\ p(-1; -2),\ p(5; 0)$$.
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) $$(2a+3)^2+(3a-4)^2-2(2a+3)(3a-4);$$
б) $$x(x+3)(x-3)-(x-2)(x^2+2x+4);$$
в) $$(a^2-5)^2+(a^2+5)^2+2(a^2+5)(a^2-5);$$
г) $$x(2x-1)^2-4(x+1)(x^2-x+1).$$
а) Приведём многочлен к стандартному виду:
$$p(a;b)=a^2+4ab-3b^2-2ab+4b^2=a^2+2ab+b^2.$$
Теперь найдём значения:
$$p(1;-1)=1^2+2\cdot1\cdot(-1)+(-1)^2=1-2+1=0,$$
$$p(-1;2)=(-1)^2+2\cdot(-1)\cdot2+2^2=1-4+4=1,$$
$$p(1;1)=1^2+2\cdot1\cdot1+1^2=1+2+1=4.$$
б) Приведём многочлен к стандартному виду:
$$p(a;b)=a^3+b^3-4a^2b+3ab^2+a^2b-2b^3=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2.$$
Теперь найдём значения:
$$p(1;1)=1^3-1^3-3\cdot1^2\cdot1+3\cdot1\cdot1^2=1-1-3+3=0,$$
$$p(-1;-2)=(-1)^3-(-2)^3-3\cdot(-1)^2\cdot(-2)+3\cdot(-1)\cdot(-2)^2=-1+8+6-12=1,$$
$$p(5;0)=5^3-0^3-3\cdot5^2\cdot0+3\cdot5\cdot0^2=125.$$
в)
$$(a^2-5)^2+(a^2+5)^2+2(a^2+5)(a^2-5)$$
Это формула квадрата суммы:
$$\bigl((a^2-5)+(a^2+5)\bigr)^2=(2a^2)^2=4a^4.$$
г)
$$x(2x-1)^2-4(x+1)(x^2-x+1)$$
Раскроем скобки:
$$x(2x-1)^2=x(4x^2-4x+1)=4x^3-4x^2+x,$$
$$4(x+1)(x^2-x+1)=4(x^3+1)=4x^3+4.$$
Тогда
$$4x^3-4x^2+x-(4x^3+4)=-4x^2+x-4.$$
Ответ
а) $$p(a;b)=a^2+2ab+b^2,$$ $$p(1;-1)=0,$$ $$p(-1;2)=1,$$ $$p(1;1)=4.$$
б) $$p(a;b)=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2,$$ $$p(1;1)=0,$$ $$p(-1;-2)=1,$$ $$p(5;0)=125.$$
в) $$4a^4.$$
г) $$-4x^2+x-4.$$
