Упр.32.8 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

б) Приведите многочлен р(а; b) = а^3 + b^3 — 4а^2 b + 3ab^2 + а^2 b — 2b^3 к стандартному виду и найдите р(1; 1), р(—1; —2), р(5; 0).
Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида:
а) (2а + 3)^2 + (3а — 4)^2 — 2(2а + 3)(3а — 4);
б) х(х + 3)(x — 3) — (х — 2)(х^2 + 2х + 4);
в) (а^2 — 5)^2 + (а^2 + 5)^2 + 2(а^2 + 5)(а^2 — 5);
г) х(2х — 1)^2 — 4(х + 1)(х^2 — х + 1).

а) Приведём многочлен к стандартному виду:

$$p(a;b)=a^2+4ab-3b^2-2ab+4b^2=a^2+2ab+b^2.$$

Теперь найдём значения:

$$p(1;-1)=1^2+2\cdot1\cdot(-1)+(-1)^2=1-2+1=0,$$

$$p(-1;2)=(-1)^2+2\cdot(-1)\cdot2+2^2=1-4+4=1,$$

$$p(1;1)=1^2+2\cdot1\cdot1+1^2=1+2+1=4.$$

б) Приведём многочлен к стандартному виду:

$$p(a;b)=a^3+b^3-4a^2b+3ab^2+a^2b-2b^3=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2.$$

Теперь найдём значения:

$$p(1;1)=1^3-1^3-3\cdot1^2\cdot1+3\cdot1\cdot1^2=1-1-3+3=0,$$

$$p(-1;-2)=(-1)^3-(-2)^3-3\cdot(-1)^2\cdot(-2)+3\cdot(-1)\cdot(-2)^2=-1+8+6-12=1,$$

$$p(5;0)=5^3-0^3-3\cdot5^2\cdot0+3\cdot5\cdot0^2=125.$$

в)

$$ (a^2-5)^2+(a^2+5)^2+2(a^2+5)(a^2-5) $$

Это формула квадрата суммы:

$$\bigl((a^2-5)+(a^2+5)\bigr)^2=(2a^2)^2=4a^4.$$

г)

$$ x(2x-1)^2-4(x+1)(x^2-x+1) $$

Раскроем скобки:

$$x(2x-1)^2=x(4x^2-4x+1)=4x^3-4x^2+x,$$

$$4(x+1)(x^2-x+1)=4(x^3+1)=4x^3+4.$$

Тогда

$$4x^3-4x^2+x-(4x^3+4)=-4x^2+x-4.$$

Ответ

а) $$p(a;b)=a^2+2ab+b^2,$$ $$p(1;-1)=0,$$ $$p(-1;2)=1,$$ $$p(1;1)=4.$$

б) $$p(a;b)=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2,$$ $$p(1;1)=0,$$ $$p(-1;-2)=1,$$ $$p(5;0)=125.$$

в) $$4a^4.$$

г) $$-4x^2+x-4.$$