Упр.32 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=-x^2$$: а) на отрезке $$[-2;1]$$; б) на интервале $$(-3;1)$$; в) на полуинтервале $$(0,3;3]$$; г) на луче $$(-\infty;-1]$$.

Рассмотрим функцию $$y=-x^2.$$ Это парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение она принимает в вершине при $$x=0,$$ где $$y=0.$$

Наименьшее значение на промежутке существует только тогда, когда область значений функции ограничена снизу и точка, где достигается минимум, входит в рассматриваемый промежуток.

1. На отрезке $$[-2;1]$$ проверим вершину и концы отрезка:

   $$y(-2)=-4,\quad y(0)=0,\quad y(1)=-1.$$

   Значит, $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}=0.$$

2. На интервале $$(-3;1)$$ точка $$x=0$$ принадлежит промежутку, поэтому

   $$y_{\max}=0.$$

   Наименьшего значения нет, так как число $$-3$$ не входит в интервал, а при $$x\to -3+0$$ значения функции стремятся к $$-9,$$ но не достигают его.

3. На полуинтервале $$\left(0{,}3;3\right]$$ вершина $$x=0$$ не входит в промежуток, поэтому наибольшего значения нет. Наименьшее значение достигается в правом конце:

   $$y(3)=-9.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-9,$$ а $$y_{\max}$$ не существует.

4. На луче $$(-\infty;-1]$$ наибольшее значение достигается в правом конце:

   $$y(-1)=-1.$$

   При $$x\to -\infty$$ значения функции неограниченно убывают, поэтому наименьшего значения нет.

Ответ

а) $$y_{\min}=-4,$$ $$y_{\max}=0$$;

б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=0$$;

в) $$y_{\min}=-9,$$ $$y_{\max}$$ не существует;

г) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=-1$$.