Упр.32.21 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Найдите, при каких значениях m прямая у = m имеет с графиком данной функции не менее двух общих точек.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} -x^2, & x\le 1,\\ x-2, & x>1. \end{cases} $$

Рассмотрим, какие значения принимает каждая часть графика.

1) При $$x\le 1$$ имеем параболу $$y=-x^2$$. На этом промежутке её наибольшее значение равно $$0$$, оно достигается при $$x=0$$. При $$x=1$$ получаем $$y=-1$$. Значит, здесь значения функции лежат в промежутке $$(-\infty;0]$$.

2) При $$x>1$$ имеем прямую $$y=x-2$$. Так как $$x>1$$, то $$y>-1$$. При приближении $$x$$ к $$1$$ справа значения $$y$$ стремятся к $$-1$$, но это значение не достигается. Следовательно, на этом участке значения функции лежат в промежутке $$(-1;+\infty)$$.

Теперь найдём, при каких $$m$$ прямая $$y=m$$ пересекает график не менее чем в двух точках.

Если $$-1<m\le 0$$, то:

на ветви $$y=-x^2$$ прямая $$y=m$$ пересекает график в двух точках при $$m<0$$ и в одной точке при $$m=0$$;
на прямой $$y=x-2$$ при $$m>-1$$ есть одна точка пересечения.

Значит, при $$-1<m<0$$ будет не менее двух общих точек, а при $$m=0$$ — тоже не менее двух, так как одна точка есть на параболе и одна на прямой.

При $$m=-1$$ прямая $$y=-1$$ проходит через точку $$\left(1,-1\right)$$, но эта точка не принадлежит участку $$x>1$$, а на параболе решений нет, поэтому двух общих точек нет.

Следовательно, подходят значения $$m$$ из промежутка $$[-1;0]$$.