Упр.31.9 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Постройте график кусочной функции:
а) $$y=\begin{cases}-x^2, & \text{если } -3\le x\le 0,\\3x, & \text{если } 0- Докажите, что значение выражения $$(2x-y)(2x+y)+(3a+2x)(3a-2x)+(y+3a)(y-3a)$$ равно нулю при любых значениях переменных.
а) Построим график по частям.
При $$-3 \le x \le 0$$ имеем $$y=-x^2$$ — это ветвь параболы, направленная вниз. Отметим точки:
$$(-3,-9),\;(-2,-4),\;(-1,-1),\;(0,0).$$
При $$0<x\le 3$$ имеем $$y=3x$$ — это отрезок прямой. Отметим точки:
$$\left(0,0\right),\;(1,3),\;(2,6),\;(3,9).$$
Точка $$\left(0,0\right)$$ принадлежит первой части, а во второй части при $$x=0$$ значение не входит, поэтому график в этой точке соединяется без разрыва.
б) Построим график по частям.
При $$-4 \le x \le 0$$ имеем $$y=x^2$$ — ветвь параболы. Отметим точки:
$$(-4,16),\;(-3,9),\;(-2,4),\;(-1,1),\;(0,0).$$
При $$0<x\le 4$$ имеем $$y=-2x$$ — отрезок прямой. Отметим точки:
$$\left(0,0\right),\;(1,-2),\;(2,-4),\;(3,-6),\;(4,-8).$$
Доказательство. Упростим выражение:
$$(2x-y)(2x+y)+(3a+2x)(3a-2x)+(y+3a)(y-3a)$$
$$= (2x)^2-y^2+(3a)^2-(2x)^2+y^2-(3a)^2$$
$$=4x^2-y^2+9a^2-4x^2+y^2-9a^2=0.$$
Следовательно, значение выражения равно нулю при любых значениях переменных.
Ответ
а) График состоит из ветви параболы $$y=-x^2$$ на отрезке $$[-3,0]$$ и отрезка прямой $$y=3x$$ на промежутке $$(0,3]$$.
б) График состоит из ветви параболы $$y=x^2$$ на отрезке $$[-4,0]$$ и отрезка прямой $$y=-2x$$ на промежутке $$(0,4]$$.
$$(2x-y)(2x+y)+(3a+2x)(3a-2x)+(y+3a)(y-3a)=0.$$
