Упр.31.9 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) y = {-x^2, если -3 ? x ? 0; 3x, если 0 < x ? 3}; б) y = {x^2, если -4 ? x ? 0; -2x, если 0 < x ? 4}. Докажите, что значение выражения (2х — у)(2х + у) + (3а + 2x)(3а — 2х) + (у + 3а)(у - 3а) равно нулю при любых значениях переменных.

а) Построим график по частям.

При $$-3 \le x \le 0$$ имеем $$y=-x^2$$ — это ветвь параболы, направленная вниз. Отметим точки:

$$(-3,-9),\;(-2,-4),\;(-1,-1),\;(0,0).$$

При $$0<x\le 3$$ имеем $$y=3x$$ — это отрезок прямой. Отметим точки:

$$\left(0,0\right),\;(1,3),\;(2,6),\;(3,9).$$

Точка $$\left(0,0\right)$$ принадлежит первой части, а во второй части при $$x=0$$ значение не входит, поэтому график в этой точке соединяется без разрыва.

б) Построим график по частям.

При $$-4 \le x \le 0$$ имеем $$y=x^2$$ — ветвь параболы. Отметим точки:

$$(-4,16),\;(-3,9),\;(-2,4),\;(-1,1),\;(0,0).$$

При $$0<x\le 4$$ имеем $$y=-2x$$ — отрезок прямой. Отметим точки:

$$\left(0,0\right),\;(1,-2),\;(2,-4),\;(3,-6),\;(4,-8).$$

Доказательство. Упростим выражение:

$$ (2x-y)(2x+y)+(3a+2x)(3a-2x)+(y+3a)(y-3a) $$
$$ = (2x)^2-y^2+(3a)^2-(2x)^2+y^2-(3a)^2 $$
$$ =4x^2-y^2+9a^2-4x^2+y^2-9a^2=0. $$

Следовательно, значение выражения равно нулю при любых значениях переменных.

Ответ

а) График состоит из ветви параболы $$y=-x^2$$ на отрезке $$[-3,0]$$ и отрезка прямой $$y=3x$$ на промежутке $$(0,3]$$.

б) График состоит из ветви параболы $$y=x^2$$ на отрезке $$[-4,0]$$ и отрезка прямой $$y=-2x$$ на промежутке $$(0,4]$$.

$$ (2x-y)(2x+y)+(3a+2x)(3a-2x)+(y+3a)(y-3a)=0. $$