Упр.31.15 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Докажите равенство: $$\left(3^2+2^2\right)\left(3^4+2^4\right)\left(3^8+2^8\right)\left(3^{16}+2^{16}\right)=0{,}2\left(3^{32}-2^{32}\right).$$

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Тогда

$$3^2+2^2=13,\quad 3^4+2^4,\quad 3^8+2^8,\quad 3^{16}+2^{16}.$$

Удобнее последовательно раскрывать произведение через разность квадратов:

$$(3^2+2^2)(3^4+2^4)=\frac{3^4-2^4}{3^2-2^2}\cdot(3^2+2^2)=\frac{3^4-2^4}{3^2-2^2}(3^2+2^2),$$

но проще сразу заметить цепочку:

$$(3^2-2^2)(3^2+2^2)=3^4-2^4,$$

$$(3^4-2^4)(3^4+2^4)=3^8-2^8,$$

$$(3^8-2^8)(3^8+2^8)=3^{16}-2^{16},$$

$$(3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})=3^{32}-2^{32}.$$

Перемножая эти равенства, получаем:

$$(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) =\frac{3^{32}-2^{32}}{3^2-2^2}.$$

Так как

$$3^2-2^2=9-4=5,$$

то

$$(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) =\frac{3^{32}-2^{32}}{5}=0{,}2(3^{32}-2^{32}).$$

Ответ

$$(3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})=0{,}2(3^{32}-2^{32}).$$