Упр.31.15 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

(3^2 + 2^2)(3^4 + 2^4)(3^8 + 2^8)(3^16 + 2^16) = 0,2(3^32 — 2^32).

Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Тогда

$$3^2+2^2=13,\quad 3^4+2^4,\quad 3^8+2^8,\quad 3^{16}+2^{16}.$$

Удобнее последовательно раскрывать произведение через разность квадратов:

$$ (3^2+2^2)(3^4+2^4)=\frac{3^4-2^4}{3^2-2^2}\cdot(3^2+2^2)=\frac{3^4-2^4}{3^2-2^2}(3^2+2^2), $$

но проще сразу заметить цепочку:

$$ (3^2-2^2)(3^2+2^2)=3^4-2^4, $$

$$ (3^4-2^4)(3^4+2^4)=3^8-2^8, $$

$$ (3^8-2^8)(3^8+2^8)=3^{16}-2^{16}, $$

$$ (3^{16}-2^{16})(3^{16}+2^{16})=3^{32}-2^{32}. $$

Перемножая эти равенства, получаем:

$$ (3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) =\frac{3^{32}-2^{32}}{3^2-2^2}. $$

Так как

$$3^2-2^2=9-4=5,$$

то

$$ (3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16}) =\frac{3^{32}-2^{32}}{5}=0{,}2(3^{32}-2^{32}). $$

Ответ

$$ (3^2+2^2)(3^4+2^4)(3^8+2^8)(3^{16}+2^{16})=0{,}2(3^{32}-2^{32}). $$