Упр.31.14 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) (2 — 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) — 2^16;
б) (2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) — 2^32.

а) Используем формулу разности квадратов:

$$ (2-1)(2+1)=2^2-1 $$

Тогда

$$ (2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)-2^{16} $$

$$ =(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)-2^{16} $$

$$ =(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)-2^{16} $$

$$ =(2^8-1)(2^8+1)-2^{16} $$

$$ =2^{16}-1-2^{16}=-1. $$

б) Аналогично:

$$ (2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32} $$

$$ =\frac{(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}{2^2-1}-2^{32} $$

$$ =\frac{(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)}{4-1}-2^{32} $$

$$ =\frac{(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)}{3}-2^{32} $$

$$ =\frac{(2^{16}-1)(2^{16}+1)}{3}-2^{32} =\frac{2^{32}-1}{3}-2^{32}. $$

Но здесь удобнее заметить, что произведение последовательно сворачивается:

$$ (2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)=\frac{2^{32}-1}{2^2-1}=\frac{2^{32}-1}{3}. $$

Тогда

$$ \frac{2^{32}-1}{3}-2^{32}=-1. $$

Ответ

а) $$-1$$; б) $$-1$$.