Упр.31.13 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) (а — b)(а + b)(а^2 + b^2)(а^4 + b^4)(а^8 + b^8);
б) x^32 — (x — 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)(x^16 + 1).

а) Последовательно применим формулу разности квадратов:

$$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $$
$$ (a^2-b^2)(a^2+b^2)=a^4-b^4 $$
$$ (a^4-b^4)(a^4+b^4)=a^8-b^8 $$
$$ (a^8-b^8)(a^8+b^8)=a^{16}-b^{16} $$

Значит,

$$ (a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)(a^8+b^8)=a^{16}-b^{16}. $$

б) Сначала сгруппируем множители:

$$ (x-1)(x+1)=x^2-1 $$
$$ (x^2-1)(x^2+1)=x^4-1 $$
$$ (x^4-1)(x^4+1)=x^8-1 $$
$$ (x^8-1)(x^8+1)=x^{16}-1 $$
$$ (x^{16}-1)(x^{16}+1)=x^{32}-1 $$

Тогда

$$ x^{32}-(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^{16}+1) $$
$$ = x^{32}-(x^{32}-1)=1. $$

Ответ

$$ \text{а) } a^{16}-b^{16}; \qquad \text{б) } 1. $$