Дополнительная задача 3 Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) третье число равно 4;
б) второе число равно —5;
в) первое число равно второму числу;
г) второе число в три раза больше первого;
д) третье число равно сумме первого и второго чисел;
е) сумма всех чисел равна 16.

Подробный ответ

Обозначим числа через $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда по условию:

$$a+2b+3c=30,$$

$$3a+2b+c=10.$$

Если $$c=4$$, то получаем систему
$$a+2b+12=30,$$
$$3a+2b+4=10.$$
Отсюда
$$a+2b=18,$$
$$3a+2b=6.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$2a=-12,$$
$$a=-6.$$
Тогда
$$-6+2b=18,$$
$$2b=24,$$
$$b=12.$$
Значит, $$a=-6$$, $$b=12$$, $$c=4$$.
Если $$b=-5$$, то
$$a-10+3c=30,$$
$$3a-10+c=10.$$
Получаем
$$a+3c=40,$$
$$3a+c=20.$$
Из первого уравнения $$a=40-3c$$. Подставим во второе:
$$3(40-3c)+c=20,$$
$$120-9c+c=20,$$
$$8c=100,$$
$$c=12{,}5.$$
Тогда
$$a=40-3\cdot 12{,}5=2{,}5.$$
Значит, $$a=2{,}5$$, $$b=-5$$, $$c=12{,}5$$.
Если $$a=b$$, то
$$a+2a+3c=30,$$
$$3a+2a+c=10.$$
То есть
$$3a+3c=30,$$
$$5a+c=10.$$
Из первого уравнения $$a+c=10$$, значит $$c=10-a$$. Подставим во второе:
$$5a+10-a=10,$$
$$4a=0,$$
$$a=0.$$
Тогда $$b=0$$, $$c=10$$.
Если $$b=3a$$, то
$$a+2\cdot 3a+3c=30,$$
$$3a+2\cdot 3a+c=10.$$
Получаем
$$7a+3c=30,$$
$$9a+c=10.$$
Из первого уравнения $$c=\dfrac{30-7a}{3}$$, из второго $$c=10-9a$$. Приравняем:
$$\frac{30-7a}{3}=10-9a,$$
$$30-7a=30-27a,$$
$$20a=0,$$
$$a=0.$$
Тогда $$b=0$$, $$c=10$$.
Если $$c=a+b$$, то
$$a+2b+3(a+b)=30,$$
$$(a+b)+2b+3a=10.$$
Получаем
$$4a+5b=30,$$
$$4a+3b=10.$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$2b=20,$$
$$b=10.$$
Тогда
$$4a+3\cdot 10=10,$$
$$4a=-20,$$
$$a=-5.$$
Следовательно, $$c=a+b=-5+10=5$$.
Если $$a+b+c=16$$, то $$a=16-b-c$$. Подставим в систему:
$$16-b-c+2b+3c=30,$$
$$3(16-b-c)+2b+c=10.$$
Получаем
$$b+2c=14,$$
$$b+2c=38.$$
Это невозможно, значит, таких чисел не существует.