Дополнительная задача 3 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Выведите формулу сокращённого умножения для куба суммы $$\left(a+b\right)^3$$.
- Для куба суммы $$kx+2$$ найдите значение $$k$$, при котором коэффициент:
а) при $$x^3$$ равен $$8$$;
б) при $$x^3$$ равен $$-125$$;
в) при $$x$$ равен $$36$$;
г) при $$x$$ равен $$-24$$;
д) при $$x^2$$ равен $$24$$;
е) при $$x^2$$ равен $$-24$$. - Для каждого числа $$1, 2, 3, \ldots, 100$$ нашли и записали остаток от его деления на $$13$$.
а) Сколько всего чисел записали?
б) Чему равно наименьшее из записанных чисел?
в) Чему равно наибольшее из записанных чисел?
г) Чему равно наибольшее число повторений?
д) Какие результаты встретились реже всего?
е) Запишите упорядоченный ряд всех результатов.
Используем формулу куба суммы:
$$(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$
Значит,
$$(kx+2)^3=(kx)^3+3(kx)^2\cdot 2+3(kx)\cdot 2^2+2^3 = k^3x^3+6k^2x^2+12kx+8.$$
Теперь найдём $$k$$ по указанному коэффициенту:
- а) при $$x^3$$ коэффициент равен $$8$$:
$$k^3=8 \Rightarrow k=2.$$
- б) при $$x^3$$ коэффициент равен $$-125$$:
$$k^3=-125 \Rightarrow k=-5.$$
- в) при $$x$$ коэффициент равен $$36$$:
$$12k=36 \Rightarrow k=3.$$
- г) при $$x$$ коэффициент равен $$-24$$:
$$12k=-24 \Rightarrow k=-2.$$
- д) при $$x^2$$ коэффициент равен $$24$$:
$$6k^2=24 \Rightarrow k^2=4 \Rightarrow k=\pm 2.$$
- е) при $$x^2$$ коэффициент равен $$-24$$:
$$6k^2=-24 \Rightarrow k^2=-4.$$
Таких значений $$k$$ не существует.
Для чисел от $$1$$ до $$100$$ найдём остатки при делении на $$13$$.
Всего записали $$100$$ чисел.
Наименьший остаток — $$0$$, наибольший — $$12$$.
Остатки $$1,2,\dots,12$$ встречаются по $$8$$ раз, а остаток $$0$$ — $$7$$ раз.
Значит, наибольшее число повторений равно $$8$$.
Реже всего встретился остаток $$0$$.
Упорядоченный ряд всех результатов:
$$0,\dots,0,\ 1,\dots,1,\ 2,\dots,2,\ 3,\dots,3,\ 4,\dots,4,\ 5,\dots,5,\ 6,\dots,6,\ 7,\dots,7,\ 8,\dots,8,\ 9,\dots,9,\ 10,\dots,10,\ 11,\dots,11,\ 12,\dots,12,$$
где остаток $$0$$ повторяется $$7$$ раз, а каждый из остатков $$1,2,\dots,12$$ — по $$8$$ раз.
Ответ
а) $$k=2$$; б) $$k=-5$$; в) $$k=3$$; г) $$k=-2$$; д) $$k=\pm 2$$; е) таких $$k$$ не существует.
а) $$100$$; б) $$0$$; в) $$12$$; г) $$8$$; д) $$0$$; е) $$0,\dots,0,1,\dots,1,\dots,12,\dots,12$$ (остаток $$0$$ — 7 раз, остальные — по 8 раз).
