Упр.3.29 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. Сравните: а) $$(10x)^5$$ и $$10x^4$$, если $$x>0$$; б) $$\frac{a^9}{7}$$ и $$\left(\frac{a}{7}\right)^9$$, если $$a>0$$; в) $$9a^7$$ и $$(9a)^7$$, если $$a<0$$; г) $$\left(\frac{x}{5}\right)^3$$ и $$\frac{x^5}{3}$$, если $$x<0$$.

Сравним выражения, учитывая знак основания степени.

1. а) $$(10x)^5 \text{ и } 10x^4, \quad x>0$$

   Так как $$x>0,$$ то $$10x>0.$$ Тогда

   $$(10x)^5 = 10^5x^5, \qquad 10x^4 = 10x^4.$$

   Сравним через отношение:

   $$\frac{(10x)^5}{10x^4}=10^4x>0.$$

   Значит, $$(10x)^5>10x^4.$$

2. б) $$\frac{a^9}{7} \text{ и } \left(\frac{a}{7}\right)^9, \quad a>0$$

   Приведём к общему виду:

   $$\frac{a^9}{7}=\frac{a^9}{7}, \qquad \left(\frac{a}{7}\right)^9=\frac{a^9}{7^9}.$$

   Так как $$7<7^9,$$ то

   $$\frac{a^9}{7}>\frac{a^9}{7^9}.$$

   Следовательно, $$\frac{a^9}{7}>\left(\frac{a}{7}\right)^9.$$

3. в) $$9a^7 \text{ и } (9a)^7, \quad a<0$$

   Имеем:

   $$(9a)^7=9^7a^7.$$

   Так как $$a<0,$$ то $$a^7<0.$$ Тогда при умножении на положительное число $$9^7$$ знак не меняется, и сравним:

   $$9a^7 \text{ и } 9^7a^7.$$

   Поскольку $$9^7>9,$$ а $$a^7<0,$$ то

   $$9a^7>9^7a^7.$$

   Значит, $$9a^7>(9a)^7.$$

4. г) $$\left(\frac{x}{5}\right)^3 \text{ и } \frac{x^5}{3}, \quad x<0$$

   Так как $$x<0,$$ то $$x^3<0$$ и $$x^5<0.$$

   Запишем:

   $$\left(\frac{x}{5}\right)^3=\frac{x^3}{125}.$$

   Сравним с $$\frac{x^5}{3}.$$ Для отрицательного $$x$$ имеем $$x^5=x^3\cdot x^2,$$ причём $$x^2>0.$$ Тогда $$x^5$$ по модулю больше, чем $$x^3,$$ но оба числа отрицательны. В результате

   $$\frac{x^3}{125}>\frac{x^5}{3}.$$

   Следовательно, $$\left(\frac{x}{5}\right)^3>\frac{x^5}{3}.$$

Ответ

а) $$(10x)^5>10x^4$$; б) $$\frac{a^9}{7}>\left(\frac{a}{7}\right)^9$$; в) $$9a^7>(9a)^7$$; г) $$\left(\frac{x}{5}\right)^3>\frac{x^5}{3}$$.