Упр.3.29 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
а) (10x)^5 и 10x^4, если x > 0;
б) a^9/7 и (a/7)^9, если a > 0;
в) 9a^7 и (9a)^7, если a < 0;
г) (x/5)^3 и x^5/3, если x < 0.
Сравним выражения, учитывая знак основания степени.
а) $$ (10x)^5 \text{ и } 10x^4, \quad x>0 $$
Так как $$x>0,$$ то $$10x>0.$$ Тогда
$$ (10x)^5 = 10^5x^5, \qquad 10x^4 = 10x^4. $$
Сравним через отношение:
$$ \frac{(10x)^5}{10x^4}=10^4x>0. $$
Значит, $$ (10x)^5>10x^4. $$
б) $$ \frac{a^9}{7} \text{ и } \left(\frac{a}{7}\right)^9, \quad a>0 $$
Приведём к общему виду:
$$ \frac{a^9}{7}=\frac{a^9}{7}, \qquad \left(\frac{a}{7}\right)^9=\frac{a^9}{7^9}. $$
Так как $$7<7^9,$$ то
$$ \frac{a^9}{7}>\frac{a^9}{7^9}. $$
Следовательно, $$ \frac{a^9}{7}>\left(\frac{a}{7}\right)^9. $$
в) $$ 9a^7 \text{ и } (9a)^7, \quad a<0 $$
Имеем:
$$ (9a)^7=9^7a^7. $$
Так как $$a<0,$$ то $$a^7<0.$$ Тогда при умножении на положительное число $$9^7$$ знак не меняется, и сравним:
$$ 9a^7 \text{ и } 9^7a^7. $$
Поскольку $$9^7>9,$$ а $$a^7<0,$$ то
$$ 9a^7>9^7a^7. $$
Значит, $$ 9a^7>(9a)^7. $$
г) $$ \left(\frac{x}{5}\right)^3 \text{ и } \frac{x^5}{3}, \quad x<0 $$
Так как $$x<0,$$ то $$x^3<0$$ и $$x^5<0.$$
Запишем:
$$ \left(\frac{x}{5}\right)^3=\frac{x^3}{125}. $$
Сравним с $$\frac{x^5}{3}.$$ Для отрицательного $$x$$ имеем $$x^5=x^3\cdot x^2,$$ причём $$x^2>0.$$ Тогда $$x^5$$ по модулю больше, чем $$x^3,$$ но оба числа отрицательны. В результате
$$ \frac{x^3}{125}>\frac{x^5}{3}. $$
Следовательно, $$ \left(\frac{x}{5}\right)^3>\frac{x^5}{3}. $$
Ответ
а) $$ (10x)^5>10x^4 $$; б) $$ \frac{a^9}{7}>\left(\frac{a}{7}\right)^9 $$; в) $$ 9a^7>(9a)^7 $$; г) $$ \left(\frac{x}{5}\right)^3>\frac{x^5}{3} $$.
