Упр.3.26 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. а) Во сколько раз изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 4 раза? б) Во сколько раз изменится объём куба, если длину его ребра уменьшить в 3 раза?
- Задание учебника 2019 года. Сравните: а) $$(10x)^5$$ и $$10x^4$$, если $$x>0$$; б) $$\frac{a^9}{7}$$ и $$\left(\frac{a}{7}\right)^9$$, если $$a>0$$; в) $$9a^7$$ и $$(9a)^7$$, если $$a<0$$; г) $$\left(\frac{x}{5}\right)^3$$ и $$\frac{x^5}{3}$$, если $$x<0$$.
Площадь квадрата пропорциональна квадрату его стороны. Если сторону увеличить в 4 раза, то площадь изменится в
$$4^2=16$$
раз.
Объём куба пропорционален кубу ребра. Если ребро уменьшить в 3 раза, то объём изменится в
$$\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$
раз, то есть уменьшится в 27 раз.
Сравним выражения:
а) $$\left(10x\right)^5 \text{ и } 10x^4,\quad x>0$$
Так как $$\left(10x\right)^5=10^5x^5$$, а $$10x^4=10x^4$$, то при $$x>0$$ имеем
$$\left(10x\right)^5>10x^4.$$
б) $$\frac{a^9}{7} \text{ и } \left(\frac{a}{7}\right)^9,\quad a>0$$
$$\frac{a^9}{7}=\frac{a^9}{7},\qquad \left(\frac{a}{7}\right)^9=\frac{a^9}{7^9}$$
Так как $$7<7^9$$, то
$$\frac{a^9}{7}>\left(\frac{a}{7}\right)^9.$$
в) $$9a^7 \text{ и } (9a)^7,\quad a<0$$
$$(9a)^7=9^7a^7$$
Так как $$a<0$$ и степень $$7$$ нечётная, то $$a^7<0$$. При этом $$9^7>9$$, значит
$$9a^7>(9a)^7.$$
г) $$\left(\frac{x}{5}\right)^3 \text{ и } \frac{x^5}{3},\quad x<0$$
$$\left(\frac{x}{5}\right)^3=\frac{x^3}{125}$$
Так как $$x<0$$, то $$x^3<0$$ и $$x^5<0$$. Сравним:
$$\frac{x^3}{125} \text{ и } \frac{x^5}{3}.$$
При $$x<0$$ верно, что $$x^3>x^5$$, а деление на положительные числа $$125$$ и $$3$$ сохраняет знак неравенства в данном сравнении, поэтому
$$\left(\frac{x}{5}\right)^3>\frac{x^5}{3}.$$
Ответ
а) увеличится в 16 раз; б) уменьшится в 27 раз;
а) $$\left(10x\right)^5>10x^4$$; б) $$\frac{a^9}{7}>\left(\frac{a}{7}\right)^9$$; в) $$9a^7>(9a)^7$$; г) $$\left(\frac{x}{5}\right)^3>\frac{x^5}{3}$$.
