Упр.28.21 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции $$y=\begin{cases}-x^2, & \text{если } x\leq 1;\\ x-2, & \text{если } x>1.\end{cases}$$ Найдите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком данной функции не менее двух общих точек.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} -x^2, & x\le 1,\\ x-2, & x>1. \end{cases}$$

Рассмотрим, какие значения принимает каждая часть.

1) При $$x\le 1$$ имеем $$y=-x^2$$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение достигается при $$x=0$$ и равно $$0$$. При $$x=1$$ получаем $$y=-1$$. Значит, на этой части графика значения $$y$$ лежат в промежутке $$(-\infty;0]$$.

2) При $$x>1$$ имеем $$y=x-2$$. Это луч прямой. При $$x\to 1+$$ значение $$y\to -1$$, а дальше функция возрастает без ограничений. Значит, на этой части графика значения $$y$$ лежат в промежутке $$(-1;+\infty)$$.

Теперь найдём, при каких $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком не менее двух общих точек.

Если $$m\in(-1;0]$$, то:

на параболе $$y=-x^2$$ горизонтальная прямая пересекает график в двух точках при $$-1<m<0$$, а при $$m=0$$ — в одной точке;
на прямой $$y=x-2$$ при $$m>-1$$ есть одна точка пересечения.

Следовательно, при $$m\in(-1;0)$$ будет не менее двух общих точек, а при $$m=0$$ — тоже не менее двух, так как одна точка есть на параболе и одна — на прямой.

При $$m=-1$$ прямая проходит через точку $$(-1,-1)$$ на параболе и через точку $$\left(1,-1\right)$$ на прямой, то есть общих точек тоже две.

Если $$m<-1$$, то прямая пересекает только параболу в двух точках, но одна из них может не удовлетворять условию $$x\le 1$$; в итоге не менее двух общих точек не получается. Если $$m>0$$, то пересечение возможно только с прямой $$y=x-2$$, и общая точка будет одна.

Значит, нужные значения $$m$$:

$$m\in[-1;0].$$