Упр.27.22 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$, где $$f(x)=\begin{cases}-x-2, & \text{если } x\leq -1;\\-x^2, & \text{если } -1<x\leq 2,\end{cases}$$: а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) имеет не более двух корней; г) имеет три корня; д) не имеет корней; е) имеет хотя бы один корень?

Рассмотрим график функции

$$f(x)= \begin{cases} -x-2, & x\le -1,\\ -x^2, & -1<x\le 2. \end{cases}$$

Найдём, при каких значениях $$p$$ прямая $$y=p$$ пересекает график функции.

1) Для ветви $$y=-x-2$$ при $$x\le -1$$ значения функции лежат в промежутке $$[-4;\,+\infty)$$, причём значение $$-4$$ достигается при $$x=2$$? Нет, для этой ветви при $$x\le -1$$ наименьшее значение равно $$-1$$? Проверим по формуле: при $$x=-1$$ получаем $$f(-1)=-(-1)-2=-1$$, а при уменьшении $$x$$ значения $$f(x)$$ растут. Значит, эта ветвь даёт все значения $$[-1;\,+\infty)$$.

2) Для ветви $$y=-x^2$$ при $$-1<x\le 2$$ значения функции лежат в промежутке $$[-4;\,0]$$, причём $$0$$ достигается при $$x=0$$, а $$-4$$ — при $$x=2$$.

Объединяя, получаем множество значений функции:

$$[-4;\,+\infty).$$

Теперь определим число корней уравнения $$f(x)=p$$ по числу точек пересечения горизонтали $$y=p$$ с графиком.

1. Один корень — когда $$p\in[-4;\,-1)\cup(0;\,+\infty).$$
2. Два корня — когда $$p=-1$$ или $$p=0.$$
3. Не более двух корней — когда $$p\in[-4;\,-1]\cup[0;\,+\infty).$$
4. Три корня — когда $$p\in(-1;\,0).$$
5. Нет корней — когда $$p<-4.$$
6. Хотя бы один корень — когда $$p\in[-4;\,+\infty).$$

Ответ

а) $$p\in[-4;\,-1)\cup(0;\,+\infty)$$;
б) $$p=-1$$ или $$p=0$$;
в) $$p\in[-4;\,-1]\cup[0;\,+\infty)$$;
г) $$p\in(-1;\,0)$$;
д) $$p<-4$$;
е) $$p\in[-4;\,+\infty)$$.