Упр.27.21 Часть 2 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

f(x) = {x + 6, если x ? -2; x^2, если -2 < x ? 3}: а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) имеет не более двух корней; г) имеет три корня; д) не имеет корней; е) имеет хотя бы один корень?

Рассмотрим график функции $$f(x)=\begin{cases}x+6, & x\le -2,\\ x^2, & -2<x\le 3.\end{cases}$$

Уравнение $$f(x)=p$$ означает, что нужно найти число точек пересечения графика функции с горизонтальной прямой $$y=p$$.

Для первой части графика $$y=x+6$$ при $$x\le -2$$ получаем значения $$y\le 4$$, то есть эта часть даёт все значения из промежутка $$(-\infty;4]$$.

Для второй части графика $$y=x^2$$ при $$-2<x\le 3$$ получаем значения $$0\le y\le 9$$, то есть эта часть даёт значения из промежутка $$[0;9]$$.

Теперь определим число пересечений для разных значений $$p$$:

• если $$p<0$$, пересечение только с прямой $$y=x+6$$ — один корень;
• если $$p=0$$, есть два пересечения: одно с прямой и одно с параболой — два корня;
• если $$0<p<4$$, прямая и парабола дают по одному пересечению — всего три корня;
• если $$p=4$$, обе части графика пересекаются в точке $$(-2;4)$$, а парабола ещё даёт вторую точку — два корня;
• если $$4<p\le 9$$, пересечение только с параболой — один корень;
• если $$p>9$$, пересечений нет.

Отсюда получаем ответы по пунктам.

Ответ

а) $$p\in(-\infty;0)\cup(4;9]$$;
б) $$p=0$$ или $$p=4$$;
в) $$p\in(-\infty;0]\cup[4;9]$$;
г) $$p\in(0;4)$$;
д) $$p>9$$;
е) $$p\in(-\infty;9]$$.