Упр.23.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- К набору чисел $$-2, -2, \ldots, -2, 1, \ldots, 1$$ приписывают $$n$$ чисел, равных $$2$$. Найдите наибольшее $$n$$, при котором медиана ряда: а) равна $$-2$$; г) равна $$1$$; б) отрицательна; д) меньше $$2$$; в) меньше $$1$$; е) равна $$2$$.
- Постройте график данной функции.
а) $$y=f(x),\quad f(x)=\begin{cases}x+3,&\text{если }-4\le x<-2;\\-2x+5,&\text{если }-2\le x<3;\\2x-7,&\text{если }3\le x\le5;\end{cases}$$
б) $$y=f(x),\quad f(x)=\begin{cases}x+4,&\text{если }x<-2;\\-2x-2,&\text{если }-2\le x<2;\\x^2,&\text{если }2\le x\le3;\end{cases}$$
в) $$y=f(x),\quad f(x)=\begin{cases}x-2,&\text{если }x<-2;\\2x,&\text{если }-2\le x<2;\\x^2,&\text{если }x\ge2;\end{cases}$$
г) $$y=f(x),\quad f(x)=\begin{cases}-x-3,&\text{если }-5\le x<-1;\\2x+4,&\text{если }-1\le x<2;\\\frac{1}{2}x+7,&\text{если }2\le x\le4;\end{cases}$$
д) $$y=f(x),\quad f(x)=\begin{cases}2x-5,&\text{если }x<-1;\\x-6,&\text{если }-1\le x\le2;\\-x^2,&\text{если }2\le x\le3;\end{cases}$$
е) $$y=f(x),\quad f(x)=\begin{cases}x-2,&\text{если }x<-1;\\2x-1,&\text{если }-1\le x<1;\\x^2,&\text{если }x\ge1.\end{cases}$$
В ряду сначала идут $$10$$ чисел, равных $$-2$$, затем $$5$$ чисел, равных $$1$$, и потом $$n$$ чисел, равных $$2$$.
Всего чисел: $$N=15+n.$$
Медиана — это средний член упорядоченного ряда, если $$N$$ нечётно, или среднее двух средних членов, если $$N$$ чётно.
а) Медиана равна $$-2$$, если середина ряда попадает в первые $$10$$ чисел:
$$\frac{15+n+1}{2}\le 10 \Rightarrow n\le 4.$$
Наибольшее $$n=4$$.
б) Медиана отрицательна, то есть равна $$-2$$:
$$n\le 4.$$
Но при $$n=4$$ медиана равна $$-2$$, а при $$n=5$$ середина уже попадает в число $$1$$. Значит, наибольшее $$n=5$$ не подходит, и медиана отрицательна при $$n=4$$.
в) Медиана меньше $$1$$:
Это возможно, пока медиана равна $$-2$$ или $$0$$; в данном ряду она меньше $$1$$ при
$$n\le 5.$$
Наибольшее $$n=5$$.
г) Медиана равна $$1$$, если середина ряда попадает в блок единиц:
$$10<\frac{15+n+1}{2}\le 15.$$
Отсюда
$$n\le 14.$$
Наибольшее $$n=14$$.
д) Медиана меньше $$2$$, если она не попадает в числа $$2$$:
$$n\le 15.$$
Наибольшее $$n=15$$.
е) Медиана равна $$2$$ невозможна, так как все числа $$2$$ стоят в конце ряда, а медиана не может оказаться в этой части при любом $$n$$.
Для построения графиков отмечаем на координатной плоскости точки, соответствующие концам каждого звена, и соединяем их отрезками или ветвями параболы с учётом знаков неравенств в промежутках.
а) $$f(x)= \begin{cases} x+3, & -4\le x<-2,\\ -2x+5, & -2\le x<3,\\ 2x-7, & 3\le x\le 5. \end{cases}$$
Ключевые точки: $$(-4,-1)$$, $$(-2,1)$$, $$(-2,9)$$, $$(3,-1)$$, $$(3,-1)$$, $$(5,3)$$.
б) $$f(x)= \begin{cases} x+4, & x<-2,\\ -2x-2, & -2\le x<2,\\ x^2, & 2\le x\le 3. \end{cases}$$
Ключевые точки: $$(-2,2)$$, $$(-2,2)$$, $$(2,-6)$$, $$(2,4)$$, $$(3,9)$$.
в) $$f(x)= \begin{cases} x-2, & x<-2,\\ 2x, & -2\le x<2,\\ x^2, & x\ge 2. \end{cases}$$
Ключевые точки: $$(-2,-4)$$, $$(-2,-4)$$, $$(2,4)$$, далее ветвь параболы $$y=x^2$$ при $$x\ge 2$$.
г) $$f(x)= \begin{cases} -x-3, & -5\le x<-1,\\ 2x+4, & -1\le x<2,\\ \frac12x+7, & 2\le x\le 4. \end{cases}$$
Ключевые точки: $$(-5,2)$$, $$(-1,-2)$$, $$(-1,2)$$, $$(2,8)$$, $$(2,8)$$, $$(4,9)$$.
д) $$f(x)= \begin{cases} 2x-5, & x<-1,\\ x-6, & -1\le x\le 2,\\ -x^2, & 2\le x\le 3. \end{cases}$$
Ключевые точки: $$(-1,-7)$$, $$(-1,-7)$$, $$(2,-4)$$, $$(2,-4)$$, $$(3,-9)$$.
е) $$f(x)= \begin{cases} x-2, & x<-1,\\ 2x-1, & -1\le x<1,\\ x^2, & x\ge 1. \end{cases}$$
Ключевые точки: $$(-1,-3)$$, $$(-1,-3)$$, $$(1,1)$$, далее ветвь параболы $$y=x^2$$ при $$x\ge 1$$.
Ответ
а) $$n=4$$; б) $$n=4$$; в) $$n=5$$; г) $$n=14$$; д) $$n=15$$; е) не существует.
