Упр.23.23 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. а) Постройте график функции $$y=\begin{cases}-x^2, & x<1;\\2x-4, & x\geq 1.\end{cases}$$ б) При каких значениях $$p$$ прямая $$y=p$$ имеет с графиком данной функции две общие точки?

Функция задана по частям:

$$y= \begin{cases} -x^2, & x<1,\\ 2x-4, & x\ge 1. \end{cases}$$

Для построения графика рассмотрим обе части отдельно.

1) При $$x<1$$ имеем параболу $$y=-x^2$$. Вершина параболы — точка $$(0;0)$$, ветви направлены вниз. Так как точка $$x=1$$ не входит в этот промежуток, точка $$(1;-1)$$ на этом участке изображается пустой.

2) При $$x\ge 1$$ имеем прямую $$y=2x-4$$. При $$x=1$$ получаем $$y=-2$$, значит точка $$(1;-2)$$ принадлежит графику и отмечается как закрашенная.

Теперь найдём, при каких значениях $$p$$ прямая $$y=p$$ пересекает график функции в двух точках.

Для левой части графика:

$$-x^2=p \quad \Rightarrow \quad x^2=-p.$$

Два решения существуют, если $$-p>0$$, то есть $$p<0$$. Но нужно ещё учесть условие $$x<1$$.

Если $$p\in(-1;0)$$, то уравнение $$x^2=-p$$ даёт два корня $$x=\pm\sqrt{-p}$$, и оба удовлетворяют условию $$x<1$$. Значит, прямая пересекает параболу в двух точках.

Если $$p=-1$$, то получаем $$x=\pm1$$, но точка $$x=1$$ не входит в левую часть, поэтому остаётся только одна точка пересечения.

Если $$p\in[-2;-1)$$, то один из корней не подходит, а второй подходит, поэтому на левой части получается одна точка пересечения.

Для правой части графика:

$$2x-4=p \quad \Rightarrow \quad x=\frac{p+4}{2}.$$

Чтобы точка принадлежала правой части, нужно $$x\ge 1$$, то есть

$$\frac{p+4}{2}\ge 1 \quad \Rightarrow \quad p\ge -2.$$

При $$p=-2$$ прямая проходит через точку $$(1;-2)$$, а при $$p>-2$$ пересекает прямую в одной точке.

Чтобы общих точек было ровно две, возможны два случая:

• на левой части графика две точки пересечения, а на правой — ни одной; это происходит при $$-1<p<0$$;
• на левой части одна точка и на правой одна точка; это происходит при $$p=-2$$.

При $$p=-1$$ получается только одна общая точка, а при $$p=0$$ — две точки: одна на параболе и одна на прямой.

Ответ

а) График состоит из параболы $$y=-x^2$$ при $$x<1$$ и луча прямой $$y=2x-4$$ при $$x\ge 1$$; точки $$(1;-1)$$ и $$(1;-2)$$ соответственно не входят и входят в график.
б) $$p\in[-2;-1]$$ и $$p=0$$.