Упр.23.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

К каждому числу $$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_{n-1}, x_n$$ добавили постоянное число $$a$$ (необязательно положительное). Обоснуйте, что для нового набора чисел: а) объём не изменится; б) размах не изменится; в) мода изменится на $$a$$; г) медиана изменится на $$a$$; д) среднее изменится на $$a$$; е) дисперсия не изменится.
При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$, где $$f(x)=\begin{cases}-x-2, & \text{если } x\leq -1;\\-x^2, & \text{если } -1<x\leq 2,\end{cases}$$: а) имеет один корень; б) имеет два корня; в) имеет не более двух корней; г) имеет три корня; д) не имеет корней; е) имеет хотя бы один корень?

Подробный ответ

1) Если к каждому числу ряда $$x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$$ прибавить одно и то же число $$a$$, то:

объём ряда не изменится, так как количество чисел остаётся тем же;
размах не изменится:
$$\left(x_n+a\right)-\left(x_1+a\right)=x_n-x_1;$$
мода увеличится на $$a$$, так как все значения сдвигаются на одно и то же число;
медиана увеличится на $$a$$:
$$\frac{(x_k+a)+(x_{k+1}+a)}{2}=\frac{x_k+x_{k+1}}{2}+a;$$
среднее увеличится на $$a$$:
$$\frac{(x_1+a)+(x_2+a)+\cdots+(x_n+a)}{n}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}+a;$$
дисперсия не изменится, так как при сдвиге всех значений на одно и то же число отклонения от среднего остаются теми же.

2) Рассмотрим функцию

$$f(x)= \begin{cases} -x-2, & x\le -1,\\ -x^2, & -1<x\le 2. \end{cases}$$

Нужно найти, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет заданное число корней.

Для первой части графика $$y=-x-2$$ при $$x\le -1$$ значения функции лежат в промежутке $$[-4;\,+\infty)$$, а для второй части $$y=-x^2$$ при $$-1<x\le 2$$ значения лежат в промежутке $$[-4;\,0]$$.

По графику получаем:

если $$p<-4$$, корней нет;
если $$p=-4$$, один корень;
если $$-4<p<-1$$, один корень;
если $$p=-1$$, два корня;
если $$-1<p<0$$, три корня;
если $$p=0$$, два корня;
если $$p>0$$, один корень.

Ответ

а) $$p\in[-4;\,-1)\cup(0;\,+\infty)$$;
б) $$p=-1$$ или $$p=0$$;
в) $$p\in[-4;\,-1]\cup[0;\,+\infty)$$;
г) $$p\in(-1;\,0)$$;
д) $$p<-4$$;
е) $$p\in[-4;\,+\infty)$$.