Дополнительная задача 20 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Какие из утверждений «а» — «е» о натуральных числах верны, а какие — нет? (Для верных приведите обоснование, для неверных приведите пример.)
а) Если число чётно, то и его квадрат чётен;
б) если квадрат числа чётен, то и число чётно;
в) если квадрат числа кратен $$4$$, то и число кратно $$4$$;
г) если число кратно $$3$$, то его куб кратен $$9$$;
д) если куб числа кратен $$9$$, то и квадрат числа кратен $$9$$;
е) если число делится и на $$3$$, и на $$8$$, то оно делится на $$24$$.
Проверим каждое утверждение.
а) Если число чётно, то его квадрат чётен — верно, так как произведение двух чётных чисел чётно: $$2k \cdot 2k = 4k^2.$$
б) Если квадрат числа чётен, то и число чётно — верно. Если бы число было нечётным, то его квадрат тоже был бы нечётным.
в) Если квадрат числа кратен 4, то и число кратно 4 — неверно. Например, $$6^2=36,$$ число $$36$$ кратно $$4,$$ но число $$6$$ не кратно $$4.$$
г) Если число кратно 3, то его куб кратен 9 — верно. Пусть $$a=3k,$$ тогда
$$a^3=(3k)^3=27k^3,$$
а число $$27k^3$$ делится на $$9.$$
д) Если куб числа кратен 9, то и квадрат числа кратен 9 — верно. Если $$a^3$$ делится на $$9=3^2,$$ то число $$a$$ делится на $$3,$$ значит, $$a^2$$ делится на $$9.$$
е) Если число делится и на 3, и на 8, то оно делится на 24 — верно, так как $$3$$ и $$8$$ взаимно просты, а $$24=3\cdot 8.$$
Ответ: а), б), г), д), е) — верно; в) — неверно.
