Упр.20.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. Разложите многочлен на множители:
   а) $$x^3-25x$$;
   б) $$36a^5-a^3$$;
   в) $$25x^3+20x^2y+4xy^2$$;
   г) $$49a^3b-42a^2b^2+9ab^3$$.
2. Найдите точки пересечения параболы $$y=x^2$$ и данной прямой:
   а) $$y=-x+2$$;
   б) $$y=2x-4$$;
   в) $$y=x+6$$;
   г) $$y=-2x-5$$.

1. Разложим многочлены на множители:

   $$x^3-25x=x(x^2-25)=x(x-5)(x+5)$$

   $$36a^5-a^3=a^3(36a^2-1)=a^3(6a-1)(6a+1)$$

   $$25x^3+20x^2y+4xy^2=x(25x^2+20xy+4y^2)=x(5x+2y)^2$$

   $$49a^3b-42a^2b^2+9ab^3=ab(49a^2-42ab+9b^2)=ab(7a-3b)^2$$

2. Найдём точки пересечения параболы $$y=x^2$$ с прямыми.

   а) $$x^2=-x+2$$

   $$x^2+x-2=0 \\ (x+2)(x-1)=0$$

   $$x=-2 \text{ или } x=1$$

   Тогда $$y=4$$ и $$y=1$$. Точки пересечения: $$(-2;4)$$ и $$(1;1)$$.

   б) $$x^2=2x-4$$

   $$x^2-2x+4=0$$

   Дискриминант:
   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12<0$$

   Действительных точек пересечения нет.

   в) $$x^2=x+6$$

   $$x^2-x-6=0 \\ (x-3)(x+2)=0$$

   $$x=3 \text{ или } x=-2$$

   Тогда $$y=9$$ и $$y=4$$. Точки пересечения: $$(-2;4)$$ и $$(3;9)$$.

   г) $$x^2=-2x-5$$

   $$x^2+2x+5=0$$

   Дискриминант:
   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16<0$$

   Действительных точек пересечения нет.

Ответ

$$x(x-5)(x+5);\ a^3(6a-1)(6a+1);\ x(5x+2y)^2;\ ab(7a-3b)^2.$$

а) $$(-2;4),\ (1;1)$$;
б) точек пересечения нет;
в) $$(-2;4),\ (3;9)$$;
г) точек пересечения нет.