Дополнительная задача 2 Глава 7 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) 2x^2 + 2х + 1; г) 2x^2 — 2ху + у^2;
б) 5z^2 — 4z + 4; д) а^2 + 2ab + 5b^2;
в) 13у^2 + 4у + 1; е) z^2 + 4zt + 8t^2 + 4t + 1.
Для каждого двузначного числа 10, 11, 12, …, 99 нашли и записали модуль разности его цифр.
а) Сколько всего чисел записали?
б) Чему равно наименьшее из записанных чисел?
в) Чему равно наибольшее из записанных чисел?
г) Сколько раз повторён результат, равный 3?
д) Сколько раз повторён результат, равный 7?
е) Запишите упорядоченный ряд всех результатов.

а) Представим каждый многочлен в виде суммы квадратов двух многочленов первой степени:

$$2x^2+2x+1=x^2+(x^2+2x+1)=x^2+(x+1)^2;$$
$$5z^2-4z+4=4z^2+(z^2-4z+4)=(2z)^2+(z-2)^2;$$
$$13y^2+4y+1=9y^2+(4y^2+4y+1)=(3y)^2+(2y+1)^2;$$
$$2x^2-2xy+y^2=x^2+(x^2-2xy+y^2)=x^2+(x-y)^2;$$
$$a^2+2ab+5b^2=(a^2+2ab+b^2)+4b^2=(a+b)^2+(2b)^2;$$
$$z^2+4zt+8t^2+4t+1=(z^2+4zt+4t^2)+(4t^2+4t+1)=(z+2t)^2+(2t+1)^2.$$

б) Для каждого двузначного числа от 10 до 99 нашли модуль разности его цифр. Таких чисел:

$$99-10+1=90.$$

Наименьшее значение модуля разности цифр равно $$0$$, наибольшее — $$9$$.

Результат, равный $$3$$, встречается для чисел:

$$14,\ 25,\ 30,\ 36,\ 41,\ 47,\ 52,\ 58,\ 63,\ 69,\ 74,\ 85,\ 96,$$

то есть $$13$$ раз.

Результат, равный $$7$$, встречается для чисел:

$$18,\ 29,\ 70,\ 81,\ 92,$$

то есть $$5$$ раз.

Упорядоченный ряд всех результатов:

$$0,\ldots,0,\ 1,\ldots,1,\ 2,\ldots,2,\ 3,\ldots,3,\ 4,\ldots,4,\ 5,\ldots,5,\ 6,\ldots,6,\ 7,\ldots,7,\ 8,\ldots,8,\ 9,$$

где числа повторяются соответственно $$9,17,15,13,11,9,7,5,3,1$$ раз.

Ответ

а) $$\begin{aligned} &2x^2+2x+1=x^2+(x+1)^2;\\ &5z^2-4z+4=(2z)^2+(z-2)^2;\\ &13y^2+4y+1=(3y)^2+(2y+1)^2;\\ &2x^2-2xy+y^2=x^2+(x-y)^2;\\ &a^2+2ab+5b^2=(a+b)^2+(2b)^2;\\ &z^2+4zt+8t^2+4t+1=(z+2t)^2+(2t+1)^2. \end{aligned}$$

б) $$90$$; $$0$$; $$9$$; $$13$$; $$5$$; $$0,\ldots,0,1,\ldots,1,2,\ldots,2,3,\ldots,3,4,\ldots,4,5,\ldots,5,6,\ldots,6,7,\ldots,7,8,\ldots,8,9$$.