Дополнительная задача 2 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
- Ваня и Вася независимо называют подобные одночлены $$A$$ и $$B$$ с натуральными коэффициентами, а Вова верно складывает их. Сколько у Вани и Васи имеется различных вариантов, при которых у Вовы получится одночлен:
а) $$3x$$;
в) $$5z^3$$;
д) $$1000xy^2z^4$$;
б) $$4y^2$$;
г) $$10xy^2$$;
е) $$2018d^{2017}$$? - Представьте многочлен в виде суммы квадратов двух многочленов первой степени:
а) $$2x^2+2x+1$$;
г) $$2x^2-2xy+y^2$$;
б) $$5z^2-4z+4$$;
д) $$a^2+2ab+5b^2$$;
в) $$13y^2+4y+1$$;
е) $$z^2+4zt+8t^2+4t+1$$.
Пусть Ваня и Вася называют одночлены с натуральными коэффициентами, а Вова складывает их. Чтобы получился заданный одночлен, нужно разложить его коэффициент на сумму двух натуральных слагаемых.
Число различных вариантов равно числу разложений коэффициента на сумму двух натуральных чисел, то есть $$n-1$$, где $$n$$ — коэффициент одночлена.
а) $$3x$$ — $$3-1=2$$ варианта;
б) $$4y^2$$ — $$4-1=3$$ варианта;
в) $$5z^3$$ — $$5-1=4$$ варианта;
г) $$10xy^2$$ — $$10-1=9$$ вариантов;
д) $$1000xy^2z^4$$ — $$1000-1=999$$ вариантов;
е) $$2018d^{2017}$$ — $$2018-1=2017$$ вариантов.Представим каждый многочлен в виде суммы квадратов двух многочленов первой степени.
а) $$2x^2+2x+1=x^2+(x^2+2x+1)=x^2+(x+1)^2$$;
б) $$5z^2-4z+4=4z^2+(z^2-4z+4)=(2z)^2+(z-2)^2$$;
в) $$13y^2+4y+1=9y^2+(4y^2+4y+1)=(3y)^2+(2y+1)^2$$;
г) $$2x^2-2xy+y^2=x^2+(x^2-2xy+y^2)=x^2+(x-y)^2$$;
д) $$a^2+2ab+5b^2=(a^2+2ab+b^2)+4b^2=(a+b)^2+(2b)^2$$;
е) $$z^2+4zt+8t^2+4t+1=(z^2+4zt+4t^2)+(4t^2+4t+1)=(z+2t)^2+(2t+1)^2$$.
Ответ
1) а) $$2$$; б) $$3$$; в) $$4$$; г) $$9$$; д) $$999$$; е) $$2017$$.
2) а) $$x^2+(x+1)^2$$; б) $$(2z)^2+(z-2)^2$$; в) $$(3y)^2+(2y+1)^2$$; г) $$x^2+(x-y)^2$$; д) $$(a+b)^2+(2b)^2$$; е) $$(z+2t)^2+(2t+1)^2$$.
