Упр.19.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) Алексей, Борис и Владимир решили покрасить забор. Алексей и Борис, работая вместе, могут покрасить этот забор за 3 ч, Борис и Владимир — за 4 ч, а Алексей и Владимир — за 6 ч. Сколько времени потребуется на покраску забора каждому мальчику в отдельности?
б) Аня, Валя и Галя решили прополоть огород. Аня и Валя, работая вместе, могут прополоть этот огород за 3 ч, Валя и Галя — за 2 ч 40 мин, а Аня и Галя — за 4 ч. Сколько времени потребуется для прополки огорода каждой девочке в отдельности?

Подробный ответ

а) Пусть Алексей, Борис и Владимир могут покрасить забор поодиночке за $$\frac{1}{x}$$ ч, $$\frac{1}{y}$$ ч и $$\frac{1}{z}$$ ч соответственно.

Тогда их совместная работа даёт систему:

$$ \begin{cases} x+y=\frac{1}{3},\\ y+z=\frac{1}{4},\\ x+z=\frac{1}{6}. \end{cases} $$

Из первых и третьего уравнений выразим:

$$ x=\frac{1}{3}-y,\qquad z=\frac{1}{4}-y. $$

Подставим в третье уравнение:

$$ \left(\frac{1}{3}-y\right)+\left(\frac{1}{4}-y\right)=\frac{1}{6} $$
$$ -2y=\frac{1}{6}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=-\frac{5}{12} $$
$$ y=\frac{5}{24}. $$

Тогда

$$ x=\frac{1}{3}-\frac{5}{24}=\frac{1}{8},\qquad z=\frac{1}{4}-\frac{5}{24}=\frac{1}{24}. $$

Значит, поодиночке мальчики покрасят забор за:

$$ \frac{1}{x}=8\text{ ч},\qquad \frac{1}{y}=4\frac{4}{5}\text{ ч}=4\text{ ч }48\text{ мин},\qquad \frac{1}{z}=24\text{ ч}. $$

б) Пусть Аня, Валя и Галя могут прополоть огород поодиночке за $$\frac{1}{x}$$ ч, $$\frac{1}{y}$$ ч и $$\frac{1}{z}$$ ч соответственно.

Так как $$2\text{ ч }40\text{ мин}=2\frac{2}{3}\text{ ч}=\frac{8}{3}\text{ ч},$$ получаем систему:

$$ \begin{cases} x+y=\frac{1}{3},\\ y+z=\frac{3}{8},\\ x+z=\frac{1}{4}. \end{cases} $$

Выразим:

$$ x=\frac{1}{3}-y,\qquad z=\frac{3}{8}-y. $$

Подставим в третье уравнение:

$$ \left(\frac{1}{3}-y\right)+\left(\frac{3}{8}-y\right)=\frac{1}{4} $$
$$ -2y=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-\frac{3}{8}=-\frac{11}{24} $$
$$ y=\frac{11}{48}. $$

Тогда

$$ x=\frac{1}{3}-\frac{11}{48}=\frac{5}{48},\qquad z=\frac{3}{8}-\frac{11}{48}=\frac{7}{48}. $$

Следовательно, поодиночке девочки выполнят работу за:

$$ \frac{1}{x}=\frac{48}{5}=9\frac{3}{5}\text{ ч}=9\text{ ч }36\text{ мин}, $$
$$ \frac{1}{y}=\frac{48}{11}=4\frac{4}{11}\text{ ч}, $$
$$ \frac{1}{z}=\frac{48}{7}=6\frac{6}{7}\text{ ч}. $$