Упр.19.1 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

б) Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по 2, то получится 1/2, а если же из числителя и знаменателя вычесть по единице, то получится 1/3. Найдите эту дробь.

а) Пусть $$x$$ — числитель дроби, $$y$$ — знаменатель.

По условию:

$$\frac{3x}{y-3}=3,$$
$$\frac{x-3}{3y}=\frac{1}{12}.$$

Из первого уравнения:

$$3x=3(y-3),$$
$$3x=3y-9,$$
$$x=y-3.$$

Из второго уравнения:

$$12(x-3)=3y,$$
$$12x-36=3y.$$

Подставим $$x=y-3$$ во второе уравнение:

$$12(y-3)-36=3y,$$
$$12y-36-36=3y,$$
$$12y-72=3y,$$
$$9y=72,$$
$$y=8.$$

Тогда

$$x=y-3=8-3=5.$$

Искомая дробь:

$$\frac{x}{y}=\frac{5}{8}.$$

б) Пусть $$x$$ — числитель дроби, $$y$$ — знаменатель.

По условию:

$$\frac{x+2}{y+2}=\frac{1}{2},$$
$$\frac{x-1}{y-1}=\frac{1}{3}.$$

Составим систему:

$$2(x+2)=y+2,$$
$$3(x-1)=y-1.$$

После преобразования получаем:

$$2x-y=-2,$$
$$3x-y=2.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$\left(3x-y\right)-\left(2x-y\right)=2-(-2),$$
$$x=4.$$

Подставим в первое уравнение:

$$2\cdot 4-y=-2,$$
$$8-y=-2,$$
$$y=10.$$

Искомая дробь:

$$\frac{x}{y}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$$

Ответ

а) $$\frac{5}{8}$$; б) $$\frac{2}{5}$$.