Упр.18.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Прямая $$y=kx+m$$ проходит через точки $$M$$ и $$K$$. Составьте уравнение прямой и запишите его в виде $$ax+by=c$$, где $$a$$, $$b$$, $$c$$ — целые числа.
а) $$M(-1;4)$$, $$K(2;-1)$$;
б) $$M(7;-5)$$, $$K(-3;4)$$;
в) $$M(2;3)$$, $$K(-3;2)$$;
г) $$M(-6;2)$$, $$K(1;3)$$;
д) $$M(-1;2)$$, $$K(5;-2)$$;
е) $$M(3;7)$$, $$K(-5;1)$$.

Подробный ответ

а) Для точек $$M(-1;4)$$ и $$K(2;-1)$$ получаем систему:
$$\begin{cases} -a+4b=c,\\ 2a-b=c. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$2a-b-(-a+4b)=0$$
$$3a-5b=0,\quad 3a=5b,\quad b=\frac35a.$$
Подставим в $$2a-b=c$$:
$$2a-\frac35a=c,\quad c=\frac75a.$$
Тогда
$$ax+by=c \;\Rightarrow\; ax+\frac35ay=\frac75a.$$
Умножим на 5:
$$5x+3y=7.$$
б) Для точек $$M(7;-5)$$ и $$K(-3;4)$$:
$$\begin{cases} 7a-5b=c,\\ -3a+4b=c. \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$10a-9b=0,\quad 10a=9b,\quad a=\frac9{10}b.$$
Подставим в $$-3a+4b=c$$:
$$-3\cdot\frac9{10}b+4b=c,\quad c=\frac{13}{10}b.$$
Тогда
$$\frac9{10}bx+by=\frac{13}{10}b.$$
Умножим на 10:
$$9x+10y=13.$$
в) Для точек $$M(2;3)$$ и $$K(-3;2)$$:
$$\begin{cases} 2a+3b=c,\\ -3a+2b=c. \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$5a+b=0,\quad b=-5a.$$
Подставим в $$-3a+2b=c$$:
$$-3a+2(-5a)=c,\quad c=-13a.$$
Тогда
$$ax+by=c \;\Rightarrow\; ax-5ay=-13a.$$
Делим на $$a$$:
$$x-5y=-13.$$
г) Для точек $$M(-6;2)$$ и $$K(1;3)$$:
$$\begin{cases} -6a+2b=c,\\ a+3b=c. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$7a+b=0,\quad b=-7a.$$
Подставим в $$a+3b=c$$:
$$a+3(-7a)=c,\quad c=-20a.$$
Тогда
$$ax+by=c \;\Rightarrow\; ax-7ay=-20a.$$
Делим на $$a$$:
$$x-7y=-20.$$
д) Для точек $$M(-1;2)$$ и $$K(5;-2)$$:
$$\begin{cases} -a+2b=c,\\ 5a-2b=c. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$6a-4b=0,\quad 6a=4b,\quad b=\frac32a.$$
Подставим в $$-a+2b=c$$:
$$-a+2\cdot\frac32a=c,\quad c=2a.$$
Тогда
$$ax+by=c \;\Rightarrow\; ax+\frac32ay=2a.$$
Умножим на 2:
$$2x+3y=4.$$
е) Для точек $$M(3;7)$$ и $$K(-5;1)$$:
$$\begin{cases} 3a+7b=c,\\ -5a+b=c. \end{cases}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$8a+6b=0,\quad 4a+3b=0,\quad a=-\frac34b.$$
Подставим в $$-5a+b=c$$:
$$-5\left(-\frac34b\right)+b=c,\quad c=\frac{19}{4}b.$$
Тогда
$$-\frac34bx+by=\frac{19}{4}b.$$
Умножим на 4:
$$-3x+4y=19.$$