Упр.18.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

а) {2x + y + z = 1; -x — y + z = 4; 3x + 2y — z = -5};
б) {2x + 2y — z = 14; x — 2y + 3z = -9; -x + y — z = 2};
в) {x + y + z = 1; x — y — 2z = 2; 2x + y + 2z = 4};
г) {x + 2y — 3z = 1; 2x — y + 3z = 6; 3x — y — z = 4}.

1. а)

   $$\begin{cases} 2x+y+z=1,\\ -x-y+z=4,\\ 3x+2y-z=-5. \end{cases}$$

   Сложим первое и второе уравнения, вычитая третье:

   $$(2x+y+z)-(-x-y+z)-(3x+2y-z)=1-4-(-5),$$
   $$z=2.$$

   Подставим $$z=2$$ в систему:

   $$\begin{cases} 2x+y=-1,\\ -x-y=2,\\ 3x+2y=-3. \end{cases}$$

   Сложим первые два уравнения:

   $$(2x+y)+(-x-y)=-1+2,$$
   $$x=1.$$

   Тогда из $$2x+y=-1$$ получаем:

   $$2\cdot 1+y=-1,$$
   $$y=-3.$$

2. б)

   $$\begin{cases} 2x+2y-z=14,\\ x-2y+3z=-9,\\ -x+y-z=2. \end{cases}$$

   Сложим все три уравнения:

   $$(2x+2y-z)+(x-2y+3z)+(-x+y-z)=14+(-9)+2,$$
   $$2x+ y + z=7.$$

   Из второго и третьего уравнений выразим $$x$$ и $$y$$ через $$z$$:

   $$x-2y+3z=-9,$$
   $$-x+y-z=2.$$

   Из второго:

   $$x=y-z-2.$$

   Подставим в первое из этих двух уравнений:

   $$(y-z-2)-2y+3z=-9,$$
   $$-y+2z=-7,$$
   $$y=2z+7.$$

   Тогда

   $$x=(2z+7)-z-2=z+5.$$

   Подставим в $$2x+y+z=7$$:

   $$2(z+5)+(2z+7)+z=7,$$
   $$5z+17=7,$$
   $$5z=-10,$$
   $$z=-2.$$

   Тогда

   $$y=2\cdot(-2)+7=3,\qquad x=-2+5=3.$$

3. в)

   $$\begin{cases} x+y+z=1,\\ x-y-2z=2,\\ 2x+y+2z=4. \end{cases}$$

   Вычтем из первого уравнения второе и третье:

   $$(x+y+z)+(x-y-2z)-(2x+y+2z)=1+2-4,$$
   $$-y-3z=-1,$$
   $$y=-3z+1.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$x+(-3z+1)+z=1,$$
   $$x-2z=0,$$
   $$x=2z.$$

   Подставим $$x=2z$$ и $$y=-3z+1$$ во второе уравнение:

   $$2z-(-3z+1)-2z=2,$$
   $$3z-1=2,$$
   $$3z=3,$$
   $$z=1.$$

   Тогда

   $$x=2,\qquad y=-2.$$

4. г)

   $$\begin{cases} x+2y-3z=1,\\ 2x-y+3z=6,\\ 3x-y-z=4. \end{cases}$$

   Сложим первое и второе уравнения, а затем прибавим третье:

   $$(x+2y-3z)+(2x-y+3z)+(3x-y-z)=1+6+4,$$
   $$6x-z=11,$$
   $$z=6x-11.$$

   Подставим $$z=6x-11$$ в третье уравнение:

   $$3x-y-(6x-11)=4,$$
   $$-3x-y=-7,$$
   $$y=-3x+7.$$

   Подставим $$y=-3x+7$$ и $$z=6x-11$$ во второе уравнение:

   $$2x-(-3x+7)+3(6x-11)=6,$$
   $$2x+3x-7+18x-33=6,$$
   $$23x-40=6,$$
   $$23x=46,$$
   $$x=2.$$

   Тогда

   $$y=-3\cdot 2+7=1,\qquad z=6\cdot 2-11=1.$$

Ответ

а) $$x=1,\ y=-3,\ z=2$$; б) $$x=3,\ y=3,\ z=-2$$; в) $$x=2,\ y=-2,\ z=1$$; г) $$x=2,\ y=1,\ z=1$$.