Упр.18.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметров $$p$$ и $$m$$ данная система уравнений имеет бесконечное множество решений?
а) $$\begin{cases}(p-10)x+y=5m-1,\\(m+2)x-y=-2(p+2);\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}(5p+6)x-2y=m-1,\\(2m-5)x+y=3p+8.\end{cases}$$

Подробный ответ

Чтобы система двух линейных уравнений имела бесконечно много решений, её уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Значит, после приведения к виду $$y=kx+b$$ должны совпасть и коэффициенты при $$x$$, и свободные члены.

а)

$$\begin{cases} (p-10)x+y=5m-1,\\ (m+2)x-y=-2(p+2). \end{cases}$$

Выразим $$y$$:

$$\begin{cases} y=-(p-10)x+(5m-1),\\ y=(m+2)x+2(p+2). \end{cases}$$

Тогда

$$-(p-10)=m+2,$$
$$5m-1=2(p+2).$$

Из первого уравнения:

$$-p+10=m+2,$$
$$p=8-m.$$

Из второго:

$$5m-1=2p+4,$$
$$5m=2p+5.$$

Подставим $$p=8-m$$:

$$5m=2(8-m)+5$$
$$5m=16-2m+5$$
$$7m=21$$
$$m=3.$$

Тогда

$$p=8-3=5.$$

б)

$$\begin{cases} (5p+6)x-2y=m-1,\\ (2m-5)x+y=3p+8. \end{cases}$$

Выразим $$y$$:

$$\begin{cases} y=\dfrac{5p+6}{2}x-\dfrac{m-1}{2},\\ y=-(2m-5)x+(3p+8). \end{cases}$$

Приравниваем коэффициенты:

$$\dfrac{5p+6}{2}=-(2m-5),$$
$$-\dfrac{m-1}{2}=3p+8.$$

Из первого уравнения:

$$5p+6=-4m+10$$
$$5p=-4m+4$$
$$p=-\dfrac45m+\dfrac45.$$

Из второго:

$$-(m-1)=2(3p+8)$$
$$-m+1=6p+16$$
$$m=-6p-15.$$

Подставим $$p=-\dfrac45m+\dfrac45$$ во второе:

$$m=-6\left(-\dfrac45m+\dfrac45\right)-15$$
$$m=\dfrac{24}{5}m-\dfrac{24}{5}-15$$
$$m-\dfrac{24}{5}m=-\dfrac{24}{5}-15$$
$$-\dfrac{19}{5}m=-\dfrac{99}{5}$$
$$m=\dfrac{99}{19}.$$

Тогда

$$p=-\dfrac45\cdot\dfrac{99}{19}+\dfrac45 =-\dfrac{396}{95}+\dfrac{76}{95} =-\dfrac{320}{95} =-\dfrac{64}{19}.$$