Упр.18.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) {(p — 10)x + y = 5m — 1; (m + 2)x — y = -2(p + 2)};
б) {(5p + 6)x — 2y = m — 1; (2m — 5)x + y = 3p + 8}.

Подробный ответ

Чтобы система двух линейных уравнений имела бесконечно много решений, её уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Значит, после приведения к виду $$y=kx+b$$ должны совпасть и коэффициенты при $$x$$, и свободные члены.

а)

$$ \begin{cases} (p-10)x+y=5m-1,\\ (m+2)x-y=-2(p+2). \end{cases} $$

Выразим $$y$$:

$$ \begin{cases} y=-(p-10)x+(5m-1),\\ y=(m+2)x+2(p+2). \end{cases} $$

Тогда

$$ -(p-10)=m+2, $$
$$ 5m-1=2(p+2). $$

Из первого уравнения:

$$ -p+10=m+2, $$
$$ p=8-m. $$

Из второго:

$$ 5m-1=2p+4, $$
$$ 5m=2p+5. $$

Подставим $$p=8-m$$:

$$ 5m=2(8-m)+5 $$
$$ 5m=16-2m+5 $$
$$ 7m=21 $$
$$ m=3. $$

Тогда

$$ p=8-3=5. $$

б)

$$ \begin{cases} (5p+6)x-2y=m-1,\\ (2m-5)x+y=3p+8. \end{cases} $$

Выразим $$y$$:

$$ \begin{cases} y=\dfrac{5p+6}{2}x-\dfrac{m-1}{2},\\ y=-(2m-5)x+(3p+8). \end{cases} $$

Приравниваем коэффициенты:

$$ \dfrac{5p+6}{2}=-(2m-5), $$
$$ -\dfrac{m-1}{2}=3p+8. $$

Из первого уравнения:

$$ 5p+6=-4m+10 $$
$$ 5p=-4m+4 $$
$$ p=-\dfrac45m+\dfrac45. $$

Из второго:

$$ -(m-1)=2(3p+8) $$
$$ -m+1=6p+16 $$
$$ m=-6p-15. $$

Подставим $$p=-\dfrac45m+\dfrac45$$ во второе:

$$ m=-6\left(-\dfrac45m+\dfrac45\right)-15 $$
$$ m=\dfrac{24}{5}m-\dfrac{24}{5}-15 $$
$$ m-\dfrac{24}{5}m=-\dfrac{24}{5}-15 $$
$$ -\dfrac{19}{5}m=-\dfrac{99}{5} $$
$$ m=\dfrac{99}{19}. $$

Тогда

$$ p=-\dfrac45\cdot\dfrac{99}{19}+\dfrac45 =-\dfrac{396}{95}+\dfrac{76}{95} =-\dfrac{320}{95} =-\dfrac{64}{19}. $$