Дополнительная задача 17 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Выделяя полный квадрат, докажите, что неравенство верно при всех значениях переменных:

• а) $$x^2-12x+36{,}05>0$$;
• г) $$x^2-4xy+4y^2\geq0$$;
• б) $$2x^2+8x+9>0$$;
• д) $$x(x-1)\geq-0{,}25$$;
• в) $$-x^2+6x<3$$;
• е) $$x^2-2xy+y^2+6x-6y+10\geq1$$.

1. а)

   $$x^2-12x+36{,}05>0$$

   $$x^2-12x+36+0{,}05>0$$

   $$\left(x-6\right)^2+0{,}05>0$$

   Так как $$\left(x-6\right)^2\ge 0$$ и $$0{,}05>0$$, то неравенство верно при всех значениях $$x$$.

2. б)

   $$2x^2+8x+9>0$$

   $$2x^2+8x+8+1>0$$

   $$2\left(x^2+4x+4\right)+1>0$$

   $$2\left(x+2\right)^2+1>0$$

   Так как $$2\left(x+2\right)^2\ge 0$$ и $$1>0$$, то неравенство верно при всех значениях $$x$$.

3. в)

   $$-x^2+6x<3$$

   $$-x^2+6x-3<0$$

   $$-\left(x^2-6x+3\right)<0$$

   $$-\left(x^2-6x+9-6\right)<0$$

   $$-\left(x-3\right)^2+6<0$$

   $$-\left(x-3\right)^2<-6$$

   Но $$-\left(x-3\right)^2\le 0$$, значит неравенство не верно при всех значениях переменной.

4. г)

   $$x^2-4xy+4y^2\ge 0$$

   $$\left(x-2y\right)^2\ge 0$$

   Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно при любых $$x$$ и $$y$$.

5. д)

   $$x(x-1)\ge -0{,}25$$

   $$x^2-x+0{,}25\ge 0$$

   $$x^2-2\cdot \frac12 x+\left(\frac12\right)^2\ge 0$$

   $$\left(x-\frac12\right)^2\ge 0$$

   Следовательно, неравенство верно при всех значениях $$x$$.

6. е)

   $$x^2-2xy+y^2+6x-6y+10\ge 1$$

   $$x^2-2xy+y^2+6x-6y+9\ge 0$$

   $$\left(x-y\right)^2+6\left(x-y\right)+9\ge 0$$

   $$\left(x-y\right)^2+2\cdot 3\left(x-y\right)+3^2\ge 0$$

   $$\left(x-y+3\right)^2\ge 0$$

   Значит, неравенство верно при любых $$x$$ и $$y$$.

Ответ

а), б), г), д), е) — верны при всех значениях переменных; в) — не верно при всех значениях переменной.