Дополнительная задача 17 Глава 6 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)
Выделяя полный квадрат, докажите, что неравенство верно при всех значениях переменных:
- а) $$x^2-12x+36{,}05>0$$;
- г) $$x^2-4xy+4y^2\geq 0$$;
- б) $$2x^2+8x+9>0$$;
- д) $$x(x-1)\geq -0{,}25$$;
- в) $$-x^2+6x<3$$;
- е) $$x^2-2xy+y^2+6x-6y+10\geq 1$$.
$$x^2-12x+36{,}05>0$$
$$x^2-12x+36+0{,}05>0$$
$$\left(x-6\right)^2+0{,}05>0$$
Так как $$\left(x-6\right)^2\ge 0$$ и $$0{,}05>0$$, неравенство верно при всех значениях $$x$$.
$$2x^2+8x+9>0$$
$$2x^2+8x+8+1>0$$
$$2\left(x^2+4x+4\right)+1>0$$
$$2\left(x+2\right)^2+1>0$$
Так как $$2\left(x+2\right)^2\ge 0$$ и $$1>0$$, неравенство верно при всех значениях $$x$$.
$$-x^2+6x<3$$
$$-x^2+6x-3<0$$
$$-\left(x^2-6x+3\right)<0$$
$$-\left(x^2-6x+9-6\right)<0$$
$$-\left(\left(x-3\right)^2-6\right)<0$$
$$-\left(x-3\right)^2+6<0$$
Это неравенство не верно при всех значениях переменной, так как $$-\left(x-3\right)^2\le 0$$, а $$6>0$$.
$$x^2-4xy+4y^2\ge 0$$
$$\left(x-2y\right)^2\ge 0$$
Так как квадрат любого числа неотрицателен, неравенство верно при всех значениях $$x$$ и $$y$$.
$$x(x-1)\ge -0{,}25$$
$$x^2-x+0{,}25\ge 0$$
$$x^2-2\cdot \frac12 \cdot x+\left(\frac12\right)^2\ge 0$$
$$\left(x-\frac12\right)^2\ge 0$$
Неравенство верно при всех значениях $$x$$.
$$x^2-2xy+y^2+6x-6y+10\ge 1$$
$$x^2-2xy+y^2+6x-6y+9\ge 0$$
$$\left(x-y\right)^2+6\left(x-y\right)+9\ge 0$$
$$\left(\left(x-y\right)+3\right)^2\ge 0$$
Следовательно, неравенство верно при всех значениях $$x$$ и $$y$$.
Ответ
а) верно при всех $$x$$; б) верно при всех $$x$$; в) не верно при всех $$x$$; г) верно при всех $$x$$ и $$y$$; д) верно при всех $$x$$; е) верно при всех $$x$$ и $$y$$.
