Упр.17.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений с тремя переменными:

а) $$\begin{cases} x+2y+z=0,\\ 2x-y-z=1,\\ 2x+y+2z=6; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} -2x+y-z=-7,\\ x-2y+z=7,\\ 2x+2y-3z=-3; \end{cases}$$

в) $$\begin{cases} x-y+z=-4,\\ -x+2y+z=3,\\ 2x+y-2z=-1; \end{cases}$$

г) $$\begin{cases} x-2y+3z=-1,\\ -x+2y+2z=11,\\ 2x+y-3z=-5. \end{cases}$$

Подробный ответ

а)
$$\begin{cases} x+2y+z=0,\\ 2x-y-z=1,\\ 2x+y+2z=6. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=-2y-z.$$
Подставим в остальные уравнения:
$$2(-2y-z)-y-z=1$$
$$-5y-3z=1$$
$$2(-2y-z)+y+2z=6$$
$$-3y=6$$
$$y=-2.$$
Тогда из $$-5y-3z=1$$ получаем:
$$-5\cdot(-2)-3z=1$$
$$10-3z=1$$
$$3z=9$$
$$z=3.$$
Найдём $$x$$:
$$x=-2\cdot(-2)-3=1.$$
б)
$$\begin{cases} -2x+y-z=-7,\\ x-2y+z=7,\\ 2x+2y-3z=-3. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=2x+z-7.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x-2(2x+z-7)+z=7$$
$$-3x-z=-7$$
$$z=-3x+7.$$
Тогда
$$y=2x+(-3x+7)-7=-x.$$
Подставим $$y$$ и $$z$$ в третье уравнение:
$$2x+2(-x)-3(-3x+7)=-3$$
$$9x-21=-3$$
$$9x=18$$
$$x=2.$$
Тогда
$$z=-3\cdot2+7=1,\qquad y=-2.$$
в)
$$\begin{cases} x-y+z=-4,\\ -x+2y+z=3,\\ 2x+y-2z=-1. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=x+z+4.$$
Подставим в третье уравнение:
$$2x+(x+z+4)-2z=-1$$
$$3x-z=-5$$
$$z=3x+5.$$
Тогда
$$y=x+(3x+5)+4=4x+9.$$
Подставим $$y$$ и $$z$$ во второе уравнение:
$$-x+2(4x+9)+(3x+5)=3$$
$$10x+23=3$$
$$10x=-20$$
$$x=-2.$$
Тогда
$$z=3\cdot(-2)+5=-1,\qquad y=4\cdot(-2)+9=1.$$
г)
$$\begin{cases} x-2y+3z=-1,\\ -x+2y+2z=11,\\ 2x+y-3z=-5. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=2y-3z-1.$$
Подставим во второе уравнение:
$$-(2y-3z-1)+2y+2z=11$$
$$5z=10$$
$$z=2.$$
Тогда
$$x=2y-3\cdot2-1=2y-7.$$
Подставим $$x$$ и $$z$$ в третье уравнение:
$$2(2y-7)+y-3\cdot2=-5$$
$$5y-20=-5$$
$$5y=15$$
$$y=3.$$
Тогда
$$x=2\cdot3-7=-1.$$