Упр.17.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

Задача

а) {x + 2y + z = 0; 2x — y — z = 1; 2x + y + 2z = 6};
б) {-2x + y — z = -7; x — 2y + z = 7; 2x + 2y — 3z = -3};
в) {x — y + z = -4; -x + 2y + z = 3; 2x + y — 2z = -1};
г) {x — 2y + 3z = -1; -x + 2y + 2z = 11; 2x + y — 3z = -5}.

Подробный ответ

а)
$$\begin{cases} x+2y+z=0,\\ 2x-y-z=1,\\ 2x+y+2z=6. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=-2y-z.$$
Подставим в остальные уравнения:
$$ 2(-2y-z)-y-z=1 $$
$$ -5y-3z=1 $$
$$ 2(-2y-z)+y+2z=6 $$
$$ -3y=6 $$
$$ y=-2. $$
Тогда из $$-5y-3z=1$$ получаем:
$$ -5\cdot(-2)-3z=1 $$
$$ 10-3z=1 $$
$$ 3z=9 $$
$$ z=3. $$
Найдём $$x$$:
$$ x=-2\cdot(-2)-3=1. $$
б)
$$\begin{cases} -2x+y-z=-7,\\ x-2y+z=7,\\ 2x+2y-3z=-3. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=2x+z-7.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ x-2(2x+z-7)+z=7 $$
$$ -3x-z=-7 $$
$$ z=-3x+7. $$
Тогда
$$ y=2x+(-3x+7)-7=-x. $$
Подставим $$y$$ и $$z$$ в третье уравнение:
$$ 2x+2(-x)-3(-3x+7)=-3 $$
$$ 9x-21=-3 $$
$$ 9x=18 $$
$$ x=2. $$
Тогда
$$ z=-3\cdot2+7=1,\qquad y=-2. $$
в)
$$\begin{cases} x-y+z=-4,\\ -x+2y+z=3,\\ 2x+y-2z=-1. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=x+z+4.$$
Подставим в третье уравнение:
$$ 2x+(x+z+4)-2z=-1 $$
$$ 3x-z=-5 $$
$$ z=3x+5. $$
Тогда
$$ y=x+(3x+5)+4=4x+9. $$
Подставим $$y$$ и $$z$$ во второе уравнение:
$$ -x+2(4x+9)+(3x+5)=3 $$
$$ 10x+23=3 $$
$$ 10x=-20 $$
$$ x=-2. $$
Тогда
$$ z=3\cdot(-2)+5=-1,\qquad y=4\cdot(-2)+9=1. $$
г)
$$\begin{cases} x-2y+3z=-1,\\ -x+2y+2z=11,\\ 2x+y-3z=-5. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$x=2y-3z-1.$$
Подставим во второе уравнение:
$$ -(2y-3z-1)+2y+2z=11 $$
$$ 5z=10 $$
$$ z=2. $$
Тогда
$$ x=2y-3\cdot2-1=2y-7. $$
Подставим $$x$$ и $$z$$ в третье уравнение:
$$ 2(2y-7)+y-3\cdot2=-5 $$
$$ 5y-20=-5 $$
$$ 5y=15 $$
$$ y=3. $$
Тогда
$$ x=2\cdot3-7=-1. $$