Упр.17.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

{2ax — by = 15 2/3; ax + 3by = 2}, имеет единственным решением пару чисел (3; -1).
б) Найдите значения параметров а и b, при которых система уравнений
{-3ax + 2by = 2,9; ax — 3by = 3}, имеет единственным решением пару чисел (—1; 1).

а) Подставим в систему пару $$x=3$$, $$y=-1$$:

$$ \begin{cases} 2ax-by=15\frac{2}{3},\\ ax+3by=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a\cdot 3-b\cdot(-1)=15\frac{2}{3},\\ a\cdot 3+3b\cdot(-1)=2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 6a+b=15\frac{2}{3},\\ 3a-3b=2 \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ b=15\frac{2}{3}-6a=\frac{47}{3}-6a $$

Подставим во второе уравнение:

$$ 3a-3\left(\frac{47}{3}-6a\right)=2 $$

$$ 3a-47+18a=2 $$

$$ 21a=49 $$

$$ a=\frac{49}{21}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3} $$

Тогда

$$ b=\frac{47}{3}-6\cdot\frac{7}{3}=\frac{47}{3}-14=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3} $$

б) Подставим в систему пару $$x=-1$$, $$y=1$$:

$$ \begin{cases} -3ax+2by=2{,}9,\\ ax-3by=3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -3a\cdot(-1)+2b\cdot 1=2{,}9,\\ a\cdot(-1)-3b\cdot 1=3 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 3a+2b=2{,}9,\\ -a-3b=3 \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ a=-3b-3 $$

Подставим в первое уравнение:

$$ 3(-3b-3)+2b=2{,}9 $$

$$ -9b-9+2b=2{,}9 $$

$$ -7b=11{,}9 $$

$$ b=-1{,}7 $$

Тогда

$$ a=-3\cdot(-1{,}7)-3=5{,}1-3=2{,}1 $$

Ответ

а) $$a=2\frac{1}{3},\ b=1\frac{2}{3}$$;
б) $$a=2{,}1,\ b=-1{,}7$$.