Упр.169 Итоговое повторение ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3$$;

б) $$a^3-b^3-3ab(a-b)=(a-b)^3$$.

а) Раскроем скобки в правой части:

$$(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)$$

$$(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3$$

$$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

С другой стороны, левая часть равна:

$$a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3a^2b+3ab^2$$

Получаем одинаковые выражения, значит, тождество верно.

б) Аналогично:

$$(a-b)^3=(a-b)(a-b)^2=(a-b)(a^2-2ab+b^2)$$

$$(a-b)(a^2-2ab+b^2)=a^3-2a^2b+ab^2-a^2b+2ab^2-b^3$$

$$a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$$

Левая часть:

$$a^3-b^3-3ab(a-b)=a^3-b^3-3a^2b+3ab^2$$

Следовательно, и это тождество верно.

Ответ

а) $$a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b)^3$$; б) $$a^3-b^3-3ab(a-b)=(a-b)^3$$.