Упр.16.9 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

Если к числителю и знаменателю дроби прибавить по единице, то получится $$\frac{1}{2}$$, а если из них вычесть по единице, то получится $$\frac{1}{3}$$. Найдите эту дробь.

Пусть $$x$$ — числитель дроби, а $$y$$ — знаменатель дроби. Тогда по условию:

$$\begin{cases} \dfrac{x+1}{y+1}=\dfrac12,\\[4pt] \dfrac{x-1}{y-1}=\dfrac13. \end{cases}$$

Перемножим крест-накрест:

$$\begin{cases} 2(x+1)=y+1,\\ 3(x-1)=y-1. \end{cases}$$

Раскроем скобки:

$$\begin{cases} 2x+2=y+1,\\ 3x-3=y-1. \end{cases}$$

Приведём к более удобному виду:

$$\begin{cases} 2x-y=-1,\\ 3x-y=2. \end{cases}$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$(3x-y)-(2x-y)=2-(-1)$$

$$x=3.$$

Подставим $$x=3$$ в первое уравнение:

$$2\cdot 3-y=-1$$

$$6-y=-1$$

$$y=7.$$

Искомая дробь:

$$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{7}.$$

Ответ

$$\dfrac{3}{7}$$