Упр.16.32 ГДЗ Мордкович 7 класс (Алгебра)

1. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то в частном получится 6 и в остатке 3. Если же разделить его на сумму цифр, увеличенную на 2, то в частном получится 5 и в остатке 5. Найдите исходное число.

Пусть $$x$$ — цифра десятков, $$y$$ — цифра единиц. Тогда искомое двузначное число равно $$10x+y$$, а сумма его цифр — $$x+y$$.

По условию, при делении числа на сумму цифр получается частное 6 и остаток 3:

$$10x+y=6(x+y)+3.$$

При делении этого же числа на сумму цифр, увеличенную на 2, получается частное 5 и остаток 5:

$$10x+y=5(x+y+2)+5.$$

Составим и решим систему:

$$\begin{cases} 10x+y=6(x+y)+3,\\ 10x+y=5(x+y+2)+5. \end{cases}$$

Преобразуем уравнения:

$$\begin{cases} 4x-5y=3,\\ 5x-4y=15. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 5, второе — на 4:

$$\begin{cases} 20x-25y=15,\\ 20x-16y=60. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$9y=45,$$

откуда $$y=5$$. Подставим в первое уравнение:

$$4x-5\cdot 5=3,$$

$$4x=28,$$

$$x=7.$$

Искомое число:

$$10x+y=10\cdot 7+5=75.$$

Ответ

75