Упр.16.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. Найдите значения параметров $$a$$ и $$b$$, если известно, что система уравнений $$\begin{cases} ax-3y=7,\\ 10x-by=14 \end{cases}$$ имеет бесконечное множество решений. Единственная ли пара чисел $$a$$ и $$b$$ удовлетворяет данному условию?

Чтобы система имела бесконечно много решений, её уравнения должны быть пропорциональны:

$$\begin{cases} ax-3y=7,\\ 10x-by=14. \end{cases}$$

Тогда должны выполняться равенства отношений соответствующих коэффициентов и свободных членов:

$$\frac{a}{10}=\frac{-3}{-b}=\frac{7}{14}.$$

Из отношения свободных членов получаем:

$$\frac{7}{14}=\frac12.$$

Следовательно,

$$\frac{a}{10}=\frac12,\qquad \frac{3}{b}=\frac12.$$

Отсюда:

$$a=5,\qquad b=6.$$

Проверим: при $$a=5$$ и $$b=6$$ второе уравнение получается из первого умножением на $$2$$:

$$5x-3y=7 \;\Rightarrow\; 10x-6y=14.$$

Значит, система действительно имеет бесконечно много решений.

Такая пара чисел единственная, так как значения $$a$$ и $$b$$ однозначно определяются условиями пропорциональности.

Ответ

$$a=5,\; b=6.$$ Да, эта пара единственная.