Дополнительная задача 15 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. Выделяя полный квадрат, найдите наименьшее значение многочлена второй степени:
   а) $$P(x)=x^2-2x+3$$;
   б) $$P(x)=x^2+x+7$$;
   в) $$P(x)=3x^2-6x+11$$.

1. а) $$P(x)=x^2-2x+3=x^2-2x+1+2=(x-1)^2+2.$$

   Так как $$(x-1)^2 \ge 0,$$ то наименьшее значение многочлена равно $$2$$.

2. б) $$P(x)=x^2+x+7=x^2+2\cdot x\cdot \frac12+\left(\frac12\right)^2+7-\left(\frac12\right)^2$$

   $$=\left(x+\frac12\right)^2+7-\frac14=\left(x+\frac12\right)^2+\frac{27}{4}.$$

   Так как $$\left(x+\frac12\right)^2 \ge 0,$$ то наименьшее значение многочлена равно $$\frac{27}{4}=6\frac34.$$

3. в) $$P(x)=3x^2-6x+11=3(x^2-2x)+11=3(x^2-2x+1)+8=3(x-1)^2+8.$$

   Так как $$3(x-1)^2 \ge 0,$$ то наименьшее значение многочлена равно $$8$$.

Ответ

а) $$2$$; б) $$\frac{27}{4}$$; в) $$8$$.