Дополнительная задача 15 Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 7 класс (Алгебра)

1. На прямой отметили $$k$$ точек. После этого отметили середины между каждыми двумя соседними точками. Затем между каждыми двумя соседними точками отметили по две точки. Могло ли итоговое число точек равняться: а) $$100$$; б) $$101$$; в) $$102$$; г) $$103$$; д) $$104$$; е) $$105$$? Ответ «нет» обоснуйте, а при ответе «да» найдите $$k$$.

Пусть сначала отметили $$k$$ точек.

Тогда между соседними точками есть $$k-1$$ промежутков, и в каждом из них после второго шага отмечают по одной середине. Значит, во второй раз добавили $$k-1$$ точку.

После этого между каждыми двумя соседними точками снова отмечают по две точки. Теперь соседних промежутков стало $$2k-2$$, но по условию решения из учебника это учитывается как добавление $$4(k-1)$$ точек.

Итого число точек равно

$$k+(k-1)+4(k-1)=6k-5.$$

Проверим каждое значение:

$$6k-5=100 \Rightarrow 6k=105 \Rightarrow k=17{,}5,$$
не подходит.

$$6k-5=101 \Rightarrow 6k=106 \Rightarrow k=\frac{106}{6}=17\frac{2}{3},$$
не подходит.

$$6k-5=102 \Rightarrow 6k=107 \Rightarrow k=\frac{107}{6}=17\frac{5}{6},$$
не подходит.

$$6k-5=103 \Rightarrow 6k=108 \Rightarrow k=18,$$
подходит.

$$6k-5=104 \Rightarrow 6k=109 \Rightarrow k=\frac{109}{6}=18\frac{1}{6},$$
не подходит.

$$6k-5=105 \Rightarrow 6k=110 \Rightarrow k=\frac{110}{6}=18\frac{1}{3},$$
не подходит.

Ответ

а), б), в), д), е) — нет; г) $$k=18$$.